CALCULO SIMBÓLICO
Y
MATEMÁTICO
CON
LA HP 40G
Version 1.0
Renée de Graeve
Profesora Titular de la Universidad de Grenoble I
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
2 Agradecimientos
Agradecimientos
Todo el mundo sabia que era imposible que se escribiera un programa de
cálculo simbólico completo…Una persona sola, un iluminado, Bernard Parisse
no lo sabía … pero él lo consiguió.
Este es su programa de calculo simbólico (llam
DGR(5$%/(LPSODQWDGR
por segunda vez en una calculadora HP.
Esto ha llevado a Bernard Parisse a modificar ligeramente su programa de
manera que las funciones de cálculo simbólico puedan ser editadas y obtener
las respuestas en el editor de ecuaciones…
A lo largo de este manual descubrirán todas las prestaciones de esta
calculadora.
Quiero dar las gracias a:
Bernard Parisse por sus valiosos consejos, sus observaciones sobre el
texto, sus correcciones y su facilidad para escribir las funciones según mi
demanda, con eficacia y amabilidad
Jean Tavenas por el interés puesto en la realización de esta guía; Jean
Yves Avenard por haber tenido en cuenta nuestras súplicas y haber escrito
con prontitud, el comando PROMPT de manera improvisada…(véase
6.4.2)
2000 Hewlett-Packard. http://www.hp.com/calculators
Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under
the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later
version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections,
With no Front-Cover Texts, and with no Back-Cover Texts.
A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free
Documentation License (chapter 8, p.141).
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Prologo 3
Prologo
La HP 40G va a marcar una nueva etapa en la expansión del uso del cálculo
simbólico. Por un lado por su precio competitivo, y por otro lado, por la gran
cantidad de posibilidades para ejecutar paso a paso los principales algoritmos
impartidos en matemáticas tanto en institutos como en los primeros años de la
universidad.
Pero había además que adjuntar una documentación adecuada, preferentemente
escrita por un profesor de matemáticas. Esto es lo que Uds. van a encontrar en
esta guía realizada por Reneé de Graeve profesora titular de la Universidad de
Grenobe I y presentadora en el IREM de Grenoble. Este manual contiene por
supuesto una referencia completa de las funciones de cálculo simbólico, y
también nos muestra como a partir de ejemplos de Selectividad y ejercicios de
bachillerato se puede sacar todo el partido de la potencia del cálculo de la HP
40G y termina con dos capítulos dedicados a la programación: el primero para
aprender a programar y el segundo que trata sobre la aplicación de algoritmos
en los programas de aritmética utilizados en las especialidades de ciencias.
Bernard Parisse
Profesora titular de la Universidad de Grenoble I
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holder shall not exceed the royalty amount paid by Hewlett-Packard to the
copyright holder for the CAS Software.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Contenido 5
Contenido
0 Para Empezar................................................13
0.1 Presentación General.........................................13
0.1.1 Puesta en Marcha ..................................................13
0.1.2 Que se ve...............................................................13
0.2 Notaciones..........................................................15
0.2.1 Ayuda en Linea.......................................................15
1 Las Aplets......................................................17
1.1 Tecla APLET ......................................................17
1.2 Las Diferentes Aplets..........................................17
1.3 Ejemplo Utilizando el Aplet Sequence................19
1.3.1 Escritura en base b ................................................19
1.3.2 Cálculo del MCD..................................................... 20
1.4 Teclas SYMB NUM PLOT ..................................22
2 El Teclado Y el CAS.......................................23
2.1 ¿Qué es el CAS?................................................23
2.2 Variable Real......................................................23
2.3 ¿Cómo Realizar un Calculo Simbólico? .............24
2.4 El CAS Desde el Editor de Ecuaciones..............24
2.5 Teclado Desde el Editor de Ecuaciones.............25
2.5.1 TECLA MATH......................................................... 25
2.5.2 TECLAS SHIFT MATH (CMDS).............................26
2.5.3 TECLA VARS......................................................... 26
2.5.4 TECLAS SHIFT 2 (SYNTAX).................................26
2.5.5 TECLA HOME........................................................27
2.5.6 TECLAS SHIFT SYMB...........................................27
2.5.7 TECLA SHIFT ........................................................28
2.5.8 TECLA PLOT .........................................................28
2.5.9 TECLA NUM...........................................................29
2.5.10 TECLA VIEWS.......................................................29
2.5.11 ABREVIATURAS CON EL TECLADO................... 29
2.6 El CAS Desde Home..........................................30
2.7 Teclado Desde Home.........................................30
2.7.1 TECLA MATH......................................................... 30
2.7.2 TECLA SHIFT 2 (SYNTAX)....................................30
2.7.3 TECLA SHIFT 1 (PROGRAM) ...............................31
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
6 Contenido
3 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de
Ecuaciones ....................................................33
3.1 Editor de Ecuaciones..........................................33
3.1.1 Cómo Acceder al Editor de Ecuaciones.................33
3.1.2 ¿Cómo Seleccionar?..............................................33
3.1.3 Cómo Modificar una Expresión ..............................38
3.1.4 Modo Cursor...........................................................39
3.1.5 Para ver Todo.........................................................39
3.2 Introducir Datos en las Funciones del CAS........39
3.2.1 Cómo Escribir < ..............................................39
3.2.2 Como Escribir las Funciones de Sufijo...................41
3.2.3 Cómó Escribir las Funciones de Prefijo..................41
3.3 Variables.............................................................44
3.3.1 STO
>
......................................................................44
3.3.2 STORE ...................................................................45
3.3.3 Las Variables Predefinidas del CAS.......................45
4 Funciones de Cálculo Simbólico....................47
4.1 Menú del CAS ....................................................47
4.1.1 CFG........................................................................47
4.1.2 TOOL......................................................................48
4.1.3 ALG.........................................................................48
4.1.4 DIFF&INT ...............................................................49
4.1.5 REWRITE...............................................................49
4.1.6 SOLVE....................................................................50
4.1.7 TRIG.......................................................................50
4.1.8 TECLA MATH.........................................................51
4.2 Paso a Paso.......................................................51
4.3 Escritura Normal.................................................52
4.3.1 DEF.........................................................................52
4.4 Números Enteros (Y Los Enteros de Gauss) .....53
4.4.1 DIVIS ......................................................................53
4.4.2 EULER....................................................................54
4.4.3 FACTOR.................................................................54
4.4.4 GCD........................................................................54
4.4.5 IEGCD ....................................................................55
4.4.6 IQUOT ....................................................................56
4.4.7 IREMAINDER MOD................................................56
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Contenido 7
4.4.8 ISPRIME?...............................................................57
4.4.9 LCM........................................................................57
4.4.10 NEXTPRIME ..........................................................57
4.4.11 PREVPRIME .......................................................... 58
4.5 Calculo Modular..................................................58
4.5.1 ADDTMOD .............................................................58
4.5.2 DIVMOD.................................................................59
4.5.3 EXPANDMOD ........................................................59
4.5.4 FACTORMOD........................................................59
4.5.5 GCDMOD...............................................................60
4.5.6 INVMOD.................................................................60
4.5.7 MODSTO................................................................60
4.5.8 MULTMOD .............................................................60
4.5.9 POWMOD ..............................................................61
4.5.10 SUBTMOD .............................................................61
4.6 Numeros Racionales ..........................................61
4.6.1 PROPFRAC............................................................62
4.7 Numeros Reales.................................................62
4.7.1 FLOOR...................................................................63
4.7.2 MOD.......................................................................63
4.8 Numeros Complejos...........................................63
4.8.1 ARG........................................................................64
4.8.2 DROITE..................................................................65
4.9 Expresiones Algebraicas ....................................65
4.9.1 COLLECT...............................................................65
4.9.2 EXPAND.................................................................66
4.9.3 FACTOR.................................................................66
4.9.4 |...............................................................................67
4.9.5 SUBST....................................................................67
4.10 Polinomios..........................................................67
4.10.1 DEGREE ................................................................67
4.10.2 EGCD.....................................................................68
4.10.3 FACTOR.................................................................68
4.10.4 GCD........................................................................69
4.10.5 HERMITE ...............................................................69
4.10.6 LCM........................................................................69
4.10.7 LEGENDRE............................................................70
4.10.8 PARTFRAC............................................................70
4.10.9 PROPFRAC............................................................71
4.10.10 PTAYL....................................................................71
4.10.11 QUOT..................................................................... 71
4.10.12 REMAINDER..........................................................72
4.10.13 TCHEBYCHEFF.....................................................72
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
8 Contenido
4.11 Funciones...........................................................73
4.11.1 DEF.........................................................................73
4.11.2 IFTE........................................................................74
4.11.3 DERVX ...................................................................74
4.11.4 DERIV.....................................................................75
4.11.5 TABVAR .................................................................76
4.11.6 FOURIER................................................................76
4.11.7 IBP..........................................................................77
4.11.8 INTVX.....................................................................78
4.11.9 LIMIT.......................................................................80
4.11.10 LIMIT y ..................................................................81
4.11.11 PREVAL..................................................................82
4.11.12 RISCH.....................................................................82
4.12 Desarrollos Limitados y Asintoticos....................82
4.12.1 DIVPC.....................................................................83
4.12.2 LIMIT.......................................................................83
4.12.3 SERIES...................................................................84
4.12.4 TAYLOR .................................................................87
4.12.5 TRUNC...................................................................87
4.13 Funciones de Sobreescritura..............................88
4.13.1 DISTRIB..................................................................88
4.13.2 EPSXO ...................................................................88
4.13.3 EXP2POW..............................................................89
4.13.4 EXPLN....................................................................89
4.13.5 FDISTRIB ...............................................................89
4.13.6 LIN..........................................................................90
4.13.7 LNCOLLECT ..........................................................91
4.13.8 POWEXPAND........................................................91
4.13.9 SIMPLIFY ...............................................................91
4.13.10 XNUM.....................................................................92
4.13.11 XQ...........................................................................92
4.14 Ecuaciones.........................................................92
4.14.1 ISOLATE.................................................................93
4.14.2 SOLVEVX...............................................................93
4.14.3 SOLVE....................................................................94
4.15 Sistemas Lineales ..............................................94
4.15.1 LINSOLVE..............................................................94
4.16 Las Ecuaciones Diferenciales.............................96
4.16.1 DESOLVE Y SUBST ..............................................96
4.16.2 LDEC......................................................................97
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Contenido 9
4.17 Expresiones Trigonometricas...................98
4.17.1 ACOS2S.................................................................98
4.17.2 ASIN2C...................................................................98
4.17.3 ASIN2T...................................................................99
4.17.4 ATAN2S..................................................................99
4.17.5 HALFTAN.............................................................100
4.17.6 SINCOS................................................................100
4.17.7 TAN2CS2 .............................................................101
4.17.8 TAN2SC ...............................................................101
4.17.9 TAN2SC2 .............................................................102
4.17.10 TCOLLECT........................................................... 102
4.17.11 TEXPAND ............................................................102
4.17.12 TLIN...................................................................... 103
4.17.13 TRIG.....................................................................104
4.17.14 TRIGCOS.............................................................104
4.17.15 TRIGSIN...............................................................104
4.17.16 TRIGTAN.............................................................. 105
5 Ejercicios Realizados con la HP 40..............107
5.1 Introduccion......................................................107
5.2 Ejercicios para Bachillerato ..............................108
5.2.1 EJERCICIO 1 .......................................................108
5.2.2 EJERCICIO 2 .......................................................109
5.2.3 EJERCICIO 3 .......................................................110
5.2.4 EJERCICIO 4 .......................................................111
5.2.5 EJERCICIO 5 .......................................................112
5.3 Ejercicios DE selectividad.................................113
5.3.1 EJERCICIO 1 .......................................................113
5.3.2 EJERCICIO 2 (de especialidad)...........................119
5.3.3 EJERCICIO 2 (No es de la Especialidad) ............124
5.4 Conclusión........................................................128
6 Programación...............................................129
6.1 Implementación ................................................129
6.1.1 Como Editar y Grabar...........................................129
6.1.2 Como corregir un Programa.................................129
6.1.3 Como Ejecutar un Programa................................129
6.1.4 Como Modificar un Programa ..............................129
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
10 Contenido
6.2 Comentarios.....................................................130
6.3 Las Variables .........................................130
6.3.1 Sus Nombres........................................................130
6.3.2 Nociones Sobre Variables Locales.......................130
6.3.3 Nociones de Parametros......................................131
7 Entradas ......................................................133
7.1.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............133
7.1.2 Traduccion HP 40G..............................................133
7.2 las Salidas........................................................133
7.2.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............133
7.2.2 Traduccion en la HP 40G .....................................133
7.3 Secuencia de Instrucciones o Acción...............133
7.3.1 traduccion en los Calculos Algoritmicos...............133
7.3.2 Traduccion en la HP 40G .....................................134
7.4 La Instrucción de Asignación............................134
7.4.1 traduccion en los calculos algoritmicos................134
7.4.2 Traduccion en la HP 40G .....................................134
7.5 Las Instrucciones Condicionales......................134
7.5.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............134
7.5.2 Traduccion en la HP 40G .....................................135
7.6 Las instrucciones “Para”...................................135
7.6.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............135
7.6.2 Traduccion en la HP 40G .....................................135
7.7 La Instrucción “Mientras”..................................135
7.7.1 Traduccion en los calculos algoritmicos...............135
7.7.2 Traduccion en la HP 40G .....................................135
7.8 Las Expresiones Booleanas.............................136
7.8.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............136
7.8.2 Traduccion en la HP 40G .....................................136
7.9 Operadores Logicos.........................................136
7.9.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............136
7.9.2 Traduccion en la HP 40G .....................................136
7.10 Las Listas .........................................................136
7.10.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............136
7.10.2 Traduccion en la HP 40G .....................................137
7.11 Un Ejemplo: la Criba de Eratóstenes................138
7.11.1 Descripcion...........................................................138
7.11.2 Escritura del Calculo Algoritmico..........................138
7.11.3 Traduccion en la HP 40G .....................................139
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Contenido 11
8 Programas de Aritmetica..............................141
8.1 EL MCD y el Algoritmo de Euclides..................141
8.1.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............141
8.1.2 Traduccion en la HP 40G.....................................142
8.2 Identidad de Bézout..........................................146
8.2.1 Version Iterativa SIN las Listas.............................146
8.2.2 Version Iterativa con las listas..............................147
8.2.3 Version recursiva con Listas ................................148
8.2.4 Version Recursiva SIN las Listas .........................149
8.2.5 Traduccion en la HP 40G.....................................150
8.3 Descomposicion en Factores Primos ...............152
8.3.1 Los Calculos Algoritmicos y sus Traducciones....152
8.3.2 Traduccion en la HP 40G.....................................155
8.4 Calculo de A
P
MOD N.......................................156
8.4.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............156
8.4.2 Traduccion en la HP 40G.....................................158
8.5 La función “esprimo”.........................................159
8.5.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............159
8.5.2 Traduccion en la HP 40G.....................................162
8.6 Metodo probabilistico de Mr.Rabin ...................163
8.6.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............163
8.6.2 Traduccion en la HP 40G.....................................164
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Para Empezar 13
0 Para Empezar
0.1 Presentación General
0.1.1 Puesta en Marcha
Pulse la tecla
ON
.
Está Ud. en la pantalla
HOME
.
Durante la realización del trabajo, la tecla
ON
anula la operación en curso:
hace la función de
CANCEL
Para apagar la calculadora teclee
SHIFT
y a continuación
ON
(
OFF
)
Si después de haber pulsado reiteradas veces ON (
CANCEL
) la calculadora no
responde pulse simultáneamente
ON
y F3 para reinicializar la calculadora.
0.1.2 Que se ve
De arriba abajo:
1. La pantalla
HOME
a. El área de estado
b. Una línea horizontal
c. El menú principal de los comandos
2. El teclado
La pantalla
1.a El área de estado indica en la pantalla
HOME
los ajustes seleccionados:
RAD o
DEG
o
GRD
según se trabaje en radianes, grados centesimales o
grados sexagesimales.
FUNCTION
para indicar el nombre del Aplet seleccionar:
Aplet
Function
5 La flecha hacia arriba nos permite desplazarnos por la historia.
1.b Línea horizontal
Sobre esta línea se sitúa la historia de los cálculos hechos en
HOME
.
En la pantalla,.se sitúa a la izquierda la expresión que hemos introducido, y a la
derecha el resultado.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
14 Para Empezar
Bajo esta línea se sitúa la línea de edición de comandos.
Podemos, gracias a la flecha hacia arriba, volver a la historia y copiar, con el
comando
COPY
del menú, un comando o un resultado anterior en la línea de
comandos.
1.c. Menú principal:
Se puede acceder a los comandos del menú a través de las 6 teclas grises a las
que llamaremos:
F1, F2, F3, F4, F5, F6.
El menú posee directorios que engloban varios comandos, se reconocen por su
forma rectangular.
Para activar un comando del menú, basta con pulsar la tecla Fi
correspondiente.
En la pantalla
HOME
, el menú tiene dos comandos:
STO
>
nos permite introducir un valor en una variable
CAS nos permite abrir el editor de ecuaciones para efectuar un cálculo
simbólico.
2. Teclado:
Ya conoce Ud.:
La tecla
ON
para encender o detener la realización de un cálculo en curso y
SHIFT
ON
para apagar la calculadora.
A continuación vamos a localizar:
Las cuatro flechas (izquierda, derecha, arriba, abajo) que permiten desplazar el
cursor cuando estamos en el editor de ecuaciones, en el menú etc…
La tecla
SHIFT
que permite que una misma tecla tenga acceso a otra
función. Se utiliza la tecla
ALPHA
para escribir en mayúsculas y las teclas
SHIFT
y a continuación
ALPHA
para escribir en minúsculas. Para escribir
textos es necesario mantener pulsada la tecla
ALPHA
.
;7
QRVSHUPLWHVHJXQHOFRQWH[WRHVFULELUGLUHFWDPHQWH;7 1/D
tecla
ENTER
valida el comando.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Para Empezar 15
0.2 Notaciones
Las cuatro flechas de dirección del cursor se representan mediante los cuatro
triángulos que representamos a continuación:
<>
El comando
STO>
del menú está representado en un programa por:
STO
>
o
>
En el editor de ecuaciones la posición del cursor se representa por:
0.2.1 Ayuda en Linea
Esta calculadora posee una ayuda en línea muy práctica y eficaz consistente en
una lista de todas las funciones de cálculo simbólico por orden alfabético. En
todos los menús, Ud. puede tecleando una letra, acceder a las funciones que
empiecen por esa letra, sin necesidad de pulsar ALPHA.
La ayuda consiste en una descripción resumida de un comando, de un ejemplo
o de su respuesta. Cada ejemplo puede ser verificado con ECHO del menú y
ser tratado tal cual, o bien puede ser modificado. También se puede acceder a
la ayuda de los comandos próximos con SEE1 SEE2… del menú principal.
Para obtener mas información vea el funcionamiento de las teclas
SHIFT 2
(
SYNTAX
) en las secciones 2.5.4 y 2.7.2.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Las Aplets 17
1 Las Aplets
1.1 Tecla APLET
La tecla Aplet nos permite acceder a la lista de Aplets disponibles.
Esta calculadora nos permite trabajar con Aplets.
Pero, ¿qué es un Aplet?
Un Aplet es un programa incorporado en la calculadora que permite obtener
con facilidad 3 visualizaciones diferentes de un.mismo objeto matemático (una
visualización simbólica, una visualización numérica y otra gráfica) y ¡¡¡todo
está ya incorporado!!!
Las diferentes Aplets nos permiten trabajar con objetos matemáticos tales
como: funciones, sucesiones, series estadísticas…
Algunas Aplets son programas de lecciones pertenecientes al curso escolar.
1.2 Las Diferentes Aplets
Desde
HOME
Ud. puede saber mirando la línea de estado, el nombre del Aplet
seleccionado.
Posibles opciones de la tecla Aplet:
Sequence
Este Aplet nos permite definir series con los siguiente nombres:
U1, U2…U9, U0
Podemos definir U1(N):
O en función de N
O en función de U1(N – 1)
O en función de V1(N – 1) y de V1 (N – 2)
Por ejemplo:
U1(N) = N * N + 1
Y entonces los valores de U1(1) y de U1(2) son calculados y puestos
automáticamente.
Señalando U1, y pulsando
NUM
los valores U1(N) se visualizan.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
18 Las Aplets
Encontraremos otros ejemplos utilizando Aplet Sequence en los párrafos
siguientes como el cálculo de
MCD
de dos números (véase 1.3) y el cálculo de
los coeficientes de Bézout (véase 1.3)
Function
Este Aplet permite definir las funciones que tienen como nombre:
F1(X), F2(X)…F9(X), F0(X)
Definimos F1(X):
o por una expresión en función de X:
Por ejemplo, la fórmula:
F1(X) = X * LN(X)
Define la función:
IÕ[ [ÂOQ[
o si la función está definida por partes, utilizando los booleanos:
X > 0 etc…
Por ejemplo, una fórmula de la forma:
F1(X) = X * (X < 0) + 2 * X * (X > 0)
Define la función:
IÕ[ [VL[\
IÕ[ Â[VL[!
Para trazar curvas en coordenadas paramétricas
Para trazar curvas en coordenadas polares
Para resolver ecuaciones numéricas
Para hacer estadísticas
Para hacer estadísticas inferenciales
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Las Aplets 19
1.3 Ejemplo Utilizando el Aplet Sequence
1.3.1 Escritura en base b
Dados a y b, queremos obtener, la sucesión qn (n 1) y rn (n 2) de los
coeficientes y los restos de la división por b de los qi definidos por:
q
1
= a
q
1
= b·q
2
+ r
2
(0 r
2
b)
q
1
= b·q
3
+ r
3
(0 r
3
b)
……
q
n – 1
= b·q
n
+ r
n
(0 r
n
b)
Señalaremos que si r
n + 1
= 0 el número r
n
r
n – 1
… r
3
r
2
corresponde a la
escritura en base b de a, cuando suponemos que 2 b 10.
Introducimos en B el valor de la base, por ejemplo:
7
STO
>
B
y en A el número a escribir en base B (por ejemplo 1789
STO
>
A)
A continuación definimos dos sucesiones:
U1 (1) = A
U2 (2) = FLOOR (A/B)
U1 (N) = FLOOR (U1(N – 1)/B)
y
U2 (1) = 0
U2 (2) = A
MOD
B
U2 (N) = U1 (N – 1)
MOD
B
de manera que qn = U1(N) y r
n
= U2 (N)
obtenemos:
U2(2) = 4 U2(3) = 3 U2(4) = 1 U2(5) = 5 U2(6) = 0
por lo tanto la escritura en base 7 de 1789 es 5134.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
20 Las Aplets
1.3.2 Cálculo del MCD
Ejecución del Algoritmo de Euclides con la HP 40G.
Descripción de este algoritmo:
Efectuamos las divisiones euclidianas sucesivas:
A = B Q
1
+ R
1
0 R
1
B
B = R
1
Q
2
+ R
2
0 R
2
R
1
A = R
2
Q
3
+ R
3
0 R
3
R
2
Tras un número determinado de etapas (como máximo B),.existe un número
entero tal que:
RN = 0
MCD (A,B) = MCD (B, R
1
) = …
MCD (R
n – 1
, RN) = MCD (R
n – 1
, 0) = R
n – 1
Con la ayuda de las sucesiones, escribimos la sucesión de las restas.
Con la HP 40G utilizamos el Aplet Sequence (la tecla Aplet, a continuación se
selecciona Sequence y
START
del menú).
Si queremos determinar el
MCD
(78,56), definiremos la sucesión:
U1 (1) = 78
U1 (2) = 56
U1 (N) = U1(N – 2)
MOD
U1 (N – 1)
Tecleamos
NUM
para obtener la lista numérica de los U1 (N), es decir la lista
de los restos de las divisiones sucesivas.
El último resto, no nulo, es 2, por lo tanto el
MCD
(78,56) = 2
NOTA:
Se puede utilizar en
HOME
las variables A y B para almacenar los dos
números y poner, entonces, U1(1) = A U1(2) = B.
Hay que tener en cuenta también que A
MOD
0 = A.
Cálculo de los coeficientes de identidad de Bézout
El algoritmo de Euclides permite encontrar un par U,V que verifique que:
A U B V =
MCD
(A,B)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Las Aplets 21
Con las sucesiones:
Vamos a definir "la sucesión de los restos" R
n
y dos sucesiones U
n
y V
n
de
manera que en cada bloque tengamos:
R
n =
U
n ·
A + V
n
B.
ya que tenemos: R
n =
R
n – 2
– Q
n
R
n – 1
, U
n
y V van a cumplir la misma relación
de recurrencia
(Q
n
= cociente entero de R
n – 2
por R
n – 1
)
Al principio tenemos:
R
1
= A R
2
= B
U
1
= 1 U
2
= 0 denn A = 1 A + 0
B
V
1
= 1 V
2
= 0 denn B = 0 A + 1
B
Con la HP 40G, gracias al Aplet Sequence, vamos a definir la sucesión U1 de
los restos y las sucesiones U2 y U3, de manera que para N obtengamos:
U1 (N) = A * U2 (N) + B * U3(N)
Necesitaremos la sucesión de los cocientes que introduciremos en U4.
Las series U1, U2, U3 cumplen la misma relación de recurrencia:
U
n
= U
n – 2
– Q
n
U
n – 1
con
Qn = U4 (N) = FLOOR (U1(N – 2)/ U1(N – 1))
Definimos:
U1 (1) = A
U1 (2) = B
U1 (N) = U1 (N – 2) –U4 (N) * U1 (N – 1)
U2 (1) = 1
U2 (2) = 0
U2 (N) = U2 (N-2) – U4 (N) * U2 (N-1)
U3 (1) = 0
U3 (2) = 1
U3 (N) = U3 (N – 2) – U4 (N) * U3 (N – 1)
U4 (1) = 0
U4 (2) = 0
U4 (N) = FLOOR (U1(N – 2)/ U1(N – 1))
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
22 Las Aplets
Hay que señalar que U4 (N) sólo se utiliza para N > 2, ya que hemos definido
los dos primeros valores ( que no son necesarios!) por cero.
NUM
va a visualizar a continuación los valores de estas sucesiones y en la
línea del último resto no nulo se podrá leer el mcd y los coeficientes de Bézout.
1.4 Teclas SYMB NUM PLOT
Las tres principales visualizaciones de un Aplet son:
Una visualización simbólica que corresponde a la tecla SYMB
Una visualización numérica que corresponde a la tecla
NUM
Una visualización gráfica que corresponde a la tecla
PLOT
Cuando utilizamos la segunda función de las teclas (SETUP), podemos elegir
los diferentes parámetros (elección de la unidad del ángulo, parámetros de la
ventana gráfica, etc…)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
El Teclado Y el CAS 23
2 El Teclado Y el CAS
2.1 ¿Qué es el CAS?
El CAS nos permite realizar el cálculo simbólico:
CAS = Computer Algebra System.
Tenemos que diferenciar entre:
Cálculo simbólico, cuando se utilizan las funciones del CAS. Se trabaja
entonces en modo exacto con una precisión infinita y permite realizar los
cálculos paso a paso.
Cálculo numérico, cuando se utilizan las funciones del directorio MTH de
la tecla MATH,.en la pantalla
HOME
o desde las Aplets o en
programación. Se trabaja entonces en modo aproximado, con una
precisión de 10-12.
Ejemplo:
Si estamos en Radians en
HOME
:
ARG (1 + i) tiene un valor de 0.785398163397
Mientras que en CAS, donde siempre se trabaja en radianes:
ARG (1 + i) tiene un valor de /4
2.2 Variable Real
Cuando utilizamos funciones del cálculo simbólico, se trabaja con variables
simbólicas (es decir, variables que no contienen ningún valor)
El nombre de la variable simbólica contenida en VX se llama variable real y
generalmente suele ser X.
La expresión de algunas funciones depende de la variable real, por ejemplo la
función DERVX efectúa una derivada en función a la variable real.
Así,
DERVX (2 * X + Y) = 2 si·VX = X,
y
DERVX (2 * X + Y) = 1·si VX = Y.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
24 El Teclado Y el CAS
2.3 ¿Cómo Realizar un Calculo Simbólico?
La HP 40G ha sido creada para utilizar las funciones de cálculo simbólico
desde el editor de ecuaciones.
Para abrir el editor de ecuaciones pulsar CAS del menú de la pantalla
HOME
.
Para salir del editor de ecuaciones pulsar
ON
y regresaremos a la pantalla
HOME
.
También se puede utilizar el cálculo simbólico desde la pantalla
HOME
tomando algunas precauciones (véase 2.6)
En los capítulos siguientes se aprenderá a utilizar las funciones del CAS.
2.4 El CAS Desde el Editor de Ecuaciones
El editor de ecuaciones le permitirá escribir como Ud. lo haría sobre un papel
las expresiones que quiera simplificar, descomponer, derivar, integrar, etc…
Se trata de un editor con un menú que contiene otros directorios:
1.
El directorio TOOL contiene los siguientes comandos,
Cursor mode,Edit
expr.,Change font
Cursor mode permite pasar a modo cursor (véase 3.1.4)
Edit expr. permite editar la expresión seleccionada, y así poder
modificarla.
Change font permite elegir escribir la expresión en letra pequeña o letra
grande (esta opción se encuentra siempre disponible)
3. El directorio
ALGB
contiene funciones para la realización de cálculos
algebraicos: descomposición, desarrollos, simplificaciones,
substituciones…
4. El directorio
DIFF&INT
contiene funciones que permiten realizar el
cálculo diferencial: derivación, integración, desarrollo
5. El directorio
REWRITE
contiene funciones que permiten escribir de
nuevo una expresión de otra manera.
6. El directorio
TRIG
contiene funciones que permiten transformar
expresiones trigonométricas.
7. El directorio
SOLVE
contiene funciones que permiten resolver
ecuaciones, sistemas lineales y ecuaciones diferenciales.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
El Teclado Y el CAS 25
Ud. encontrará en el capítulo 3, cómo escribir una ecuación en el editor de
ecuaciones, cómo seleccionar una sub-expresión y cómo acceder a las
funciones del CAS.
Ud. encontrará en el capítulo 4, todas las funciones del cálculo simbólico
contenidos en los diferentes directorios con un ejemplo.
No obstante Ud. podrá siempre consultar la ayuda en línea con
SHIFT 2
(
SYNTAX
) (véase 2.5.4), para obtener ayuda de otras funciones disponibles
utilice
SHIFT MATH (CMDS)
para introducirlas (véase 2.5.2.)
2.5 Teclado Desde el Editor de Ecuaciones
Las teclas que vamos a explicar a continuación tienen diferente función si se
utilizan desde el editor de ecuaciones o desde la pantalla
HOME
. Para ver su
uso fuera del editor de ecuaciones tendrá que consultar la sección 2.7 y/o
consultar el manual del usuario.
2.5.1 TECLA MATH
La tecla MATH, pulsada desde el editor de ecuaciones visualiza las funciones
útiles del cálculo simbólico. Estas funciones se encuentran en los siguientes
directorios o categorías:
Los cinco directorios anteriores (véase 2.4)
ALGEBRA DIFF&INT REWRITE TRIG SOLVE
El directorio Complex…contiene funciones que permiten trabajar con números
complejos
El directorio Constant…( e i 8 pi)
El directorio Integer…contiene las funciones del cálculo aritmético.
El directorio Hypbolic…contiene las funciones hiperbólicas.
El directorio Modular…contiene las funciones que permiten realizar
cálculos en Z/pZ o en Z/pZ[ X], siendo el valor contenido en la variable
MODULO.
El directorio Polynom…contiene las funciones que permiten realizar
cálculos con polinomios.
El directorio Test…contiene:
ASSUME UNASSUME ( para realizar hipótesis de los parámetros y así poder
modificar la variable REALASSUME véase 3.3.3)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
26 El Teclado Y el CAS
IFTE (para escribir una función algebraica con el mismo resultado que con un
IF THEN ELSE)
Se puede consultar la sección 4.1.8. para obtener la lista de las funciones
existentes en los directorios.
2.5.2 TECLAS SHIFT MATH (CMDS)
La combinación de estas teclas abre el catálogo de todas las funciones del
cálculo simbólico que se pueden utilizar desde el editor de ecuaciones. De esta
manera, las funciones que no se localicen en otro lugar, pueden ser llamadas
desde este menú, lo que evita que Ud. tenga que teclearlas en modo ALPHA.
2.5.3 TECLA VARS
Esta tecla pulsada desde el editor de ecuaciones, nos muestra los nombres de
las variables definidas en el CAS.
Hay que señalar que namVX contiene el nombre de la variable real.
Para ver el contenido de una variable basta con seleccionar su nombre y pulsar
F2, VIEW del menú principal.
Para modificar el contenido de una variable hay que seleccionar el nombre de
esa variable y pulsar F3, EDIT del menú principal.
En el menú principal:
PURGE que permite borrar una variable existente.
RENAME que permite cambiar el nombre de una variable existente
NEW que permite definir una nueva variable, para ello, hay que introducir el
contenido (object) y su nombre (name).
Para más información vea la sección 3.3.
2.5.4 TECLAS SHIFT 2 (SYNTAX)
Desde el editor de ecuaciones, la combinación de las teclas
SHIFT 2
(
SYNTAX
) abre el menú CAS HELP
ON
. Si en el editor no está la función del
CAS seleccionada, este menú propone la lista de las funciones que se pueden
utilizar desde el editor de ecuaciones. Seleccionando la función deseada y
tecleando OK nos aparece la ayuda de esa función.
Si en el editor hay una función del CAS seleccionada, por ejemplo FACTOR
(45), el menú CAS HELP
ON
abre directamente la ayuda en la página de
FACTOR. La ayuda consiste en una descripción resumida del comando, un
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
El Teclado Y el CAS 27
ejemplo y la respuesta. Ud. puede llevar cada ejemplo al editor de ecuaciones
con ECHO del menú, y a continuación puede ser usado o modificado.
En los ejemplos de la ayuda, hemos elegido como variable real VX = X , sino
es el caso el ejemplo será automáticamente transformado, teniendo en cuenta
su VX, durante la transferencia hecha por ECHO.
También tiene Ud. la posibilidad de ver directamente la ayuda de un comando
señalando en SEE: con SEE1, SEE2…del menú principal.
2.5.5 TECLA HOME
La tecla
HOME
, pulsada desde el editor de ecuaciones, permite un acceso a la
historia del CAS.
La historia de los cálculos realizados en el CAS y la historia de los cálculos
realizados en
HOME
son distintos.
Al igual que ocurría en la historia de
HOME
, los cálculos a realizar se sitúan
en la izquierda de la pantalla y los resultados a la derecha. Con la flecha a la
derecha podemos acceder y visualizar la historia.
Con ENTER o ECHO, del menú, se puede copiar un resultado anterior o un
comando ya ejecutado.
2.5.6 TECLAS SHIFT SYMB
Desde el editor de ecuaciones la combinación de las teclas:
SHIFT SYMB (SETUP) es análoga a CFG (la primera opción de los menús
ALGB etc… del menú principal véase 4.1.1)
Lo que le permite a Ud. precisar:
El nombre de la variable contenida en VX, tecleando su nombre delante de
Indep var,
El valor de MODULO, tecleando su valor delante de Modulo.
Si Ud. quiere trabajar en modo exacto (o en modo aproximado si marca
Approx con CHK del menú)
Si Ud. quiere trabajar en modo real (o en modo complejo si marca
Complex con CHK del menú)
Si Ud. quiere trabajar en modo directo (o en modo paso a paso si marca
Step/Step con CHK del menú)
Si sus polinomios están escritos en potencias decrecientes ( o crecientes si
marca Incr Pow con CHK del menú)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
28 El Teclado Y el CAS
Si Ud. quiere prohibir los factores numéricos (o autoriza los factores
numéricos si marca Num Factor con CHK del menú)
Si Ud. quiere trabajar en modo no riguroso (o en modo riguroso si marca
Rigourous con CHK del menú, para no olvidar los valores absolutos!)
Se valida con OK o ENTER.
2.5.7 TECLA SHIFT
Desde el editor de ecuaciones las teclas:
SHIFT, (MEMORY) hacen el papel del “undo”
Es muy útil cuando uno se equivoca, ya que permite anular el último comando.
2.5.8 TECLA PLOT
Cuando Ud. pulsa PLOT, desde el editor de ecuaciones, le aparecerá un cuadro
de diálogos preguntándole si quiere trazar una función, una curva paramétrica
o una curva polar.
Según lo que Ud. seleccione, la expresión seleccionada será copiada en el
Aplet correspondiente, en el lugar que Ud. haya especificado como destino.
CUIDADO: Esto indica que la variable real es también la variable de la
función que se va a representar, ya que durante la copia, la expresión es
evaluada y la variable real (contenida VX) será cambiada por X,T o
VHJXQOD
naturaleza del gráfico.
CUIDADO: Si la función depende de un parámetro, es preferible darle un
valor a ese parámetro antes de pulsar PLOT. Si de todas las formas Ud. desea
que la expresión paramétrica sea copiada con su parámetro, el nombre de dicho
parámetro debe ser una letra diferente a X,T,
SDUDTXHQRKD\DFRQIXVLón.
Si la expresión seleccionada contiene valores reales:
Ud. puede seleccionar el Aplet Function o el Aplet Polar, y el gráfico será
entonces de tipo: Function o Polar.
Si la expresión seleccionada contiene valores complejos:
Ud. debe seleccionar el Aplet Parametric, y el gráfico será entonces de
tipo: Parametric
Si Ud. elige:
El Aplet Function, La expresión seleccionada será copiada en la función Fi
elegida, y la variable real será transformada en X durante la copia.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
El Teclado Y el CAS 29
El Aplet Parametric, la parte real y la parte imaginaria de la expresión
seleccionada serán copiadas en las funciones Xi, Yi elegidas y la variable
real será transformada en T durante la copia.
El Aplet Polar, La expresión selección será copiada en la función Ri
elegida y la variable real será transformada en
GXUDQWHODFRSLD
2.5.9 TECLA NUM
Si desde el editor de ecuaciones, pulsamos NUM la expresión marcada es
reemplazada por una aproximación numérica.
NUM lo transforma al modo aproximado.
SHIFT NUM realiza la operación inversa, es decir, lo transforma a modo
exacto.
2.5.10 TECLA VIEWS
Cuando pulsamos VIEWS desde el editor de ecuaciones la expresión marcada
puede visualizarse completamente desplazándonos con el cursor, o bien con las
flechas
<
y
>
. Para volver al editor de ecuaciones pulsemos OK en el menú.
2.5.11 ABREVIATURAS CON EL TECLADO
Desde el editor de ecuaciones, Ud. puede encontrar en el teclado las siguientes
abreviaturas:
SHIFT 0 para 8
SHIFT 1 para i
6+,)7SDUD
SHIFT 5 para <
SHIFT 6 para >
SHIFT 8 para
SHIFT 9 para
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
30 El Teclado Y el CAS
2.6 El CAS Desde Home
Ud. puede utilizar directamente algunas funciones desde la pantalla
HOME
tomando algunas precauciones:
Usar las funciones de cálculo simbólico que se encuentran en el CAS del
menú principal de la tecla MATH (pulsando desde la pantalla
HOME
). La
variable real se convierte automáticamente en la variable S1, por ejemplo:
DERVX (S12 – 4 * S2) = 2 * S1
Usar las variables S1, S2,…S5 como variables simbólicas.
CUIDADO: Algunos cálculos serán realizados en modo aproximado debido a
la ambigüedad entre los números reales y enteros en
HOME
. El uso del
comando XQ permite convertir un argumento aproximado en argumento
exacto, en el ejemplo visto en el apartado 2.1, desde la pantalla
HOME
(véase
también 2.7.1. y 2.7.2.):
ARG (XQ(1 + i
2.7 Teclado Desde Home
2.7.1 TECLA MATH
Esta tecla abre el menú de las funciones matemáticas.
Si se pulsa desde la pantalla
HOME
abre una ventana que contiene las
funciones matemáticas (numéricas) clasificadas por temas, ya que la opción
MTH del menú (tecla F1) se encuentra activada por defecto.
Si marcamos CAS del menú de esta ventana (tecla F3) encontraremos los
mismos directorios que cuando pulsábamos la tecla MATH desde el editor de
ecuaciones, de esta manera se accede a las funciones de cálculo simbólico
clasificadas por temas y utilizables desde la pantalla
HOME
(no olvidar que
desde la pantalla
HOME
, las únicas variables simbólicas son S1, S2…S5)
2.7.2 TECLA SHIFT 2 (SYNTAX)
La combinación de las teclas
SHIFT 2
(
SYNTAX
) coloca HELPWITH en la
línea de comando. Ud. tendría que completar esta línea con el nombre del
comando o con el nombre de la función del CAS de la cual Ud. quiere obtener
la ayuda. Puede introducir el nombre de la función del CAS con MATH CAS,
pero debe quitar los paréntesis.
Por ejemplo:
HELPWITH DERVX le permite abrir la ayuda del CAS en DERVX.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
El Teclado Y el CAS 31
Si desde la pantalla
HOME
Ud. quiere acceder a la ayuda general, deberá
pulsar HELP y a continuación ENTER de esta manera Ud. obtendrá la ayuda
de las funciones del CAS, que se pueden usar desde la pantalla
HOME
.
Ud. puede introducir cada ejemplo en la historia de la pantalla
HOME
con
ECHO del menú, a partir de ese menú puede ser tratado tal cual o modificado
(le recordamos que la variable X será sustituida por S1).
Además tendrá que cambiar algunas veces en
HOME
los números reales por
enteros mediante la función XQ.
Por ejemplo:
..5833.3)
12
43
(PROPFRAC
=
Mientras que:
12
7
3))
12
43
((PROPFRAC +=XQ
2.7.3 TECLA SHIFT 1 (PROGRAM)
La combinación de estas teclas pulsadas desde
HOME
, nos permite entrar en la
pantalla
PROGRAM CATALOG
.
Vemos:
Una lista de los programas que Ud. ha escrito.
Un menú con los siguientes comandos:
EDIT NEW RUN SEND RECV
EDIT nos permite editar el programa seleccionado
NEW nos permite crear un nuevo programa
RUN nos permite ejecutar el programa seleccionado (véase 6.1)
SEND y RECV permiten que su calculadora pueda comunicarse con su
ordenador o con otra calculadora.
Por ejemplo:
Si Ud. teclea
SEND
, le pedirá:
HP 40G o Disk drive
Ud. seleccionará HP 40G para enviar un programa a otra HP 40G o
seleccionará Disk drive si por el contrario, Ud. quiere enviar un programa a un
ordenador.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
32 El Teclado Y el CAS
A continuación marque OK.
Por ejemplo, veamos como se conecta un ordenado bajo Linux con una HP
40G usando el programa Kermit (que Ud. lo puede encontrar en
www.columbia.edu/Kermit que se puede cargar por ftp anonyme en
Kermit.columbia.edu):
Conectamos la calculadora con el cable de conectividad.
En el ordenador tecleamos:
kermit
set line/dev/ttyS0 (o S1…dependiendo del puerto serie que Ud. va a
utilizar en su ordenador)
set speed 9600
serv
En la HP40G seleccionamos el programa denominado NOM, pulsamos
SEND y a continuación seleccionamos disk drive. Pulsamos OK del menú,
así conseguiremos copiar el programa NOM, que se encuentra en su HP
40G, al ordenador.
o En la HP 40G
Pulsamos RECV, y seleccionamos Disk drive. Pulsamos OK del menú y en la
calculadora le aparecerá a Ud…la lista de los programas de su ordenador ( le
recomendamos que previamente se cree un directorio en su ordenador, para
almacenar sus programas de la HP 40G)
Seleccionamos MCD para que el programa de nombre MCD que Ud. tiene en
su ordenador sea copiado en su HP 48G.
Para los usuarios de Windows el programa de conexión se encuentra en el CD
entregado con la HP 40G.
Si quiere saber más sobre la utilización del Kermit con las calculadoras HP,
puede consultar:
http://www.columbia.edu/kermit/hp48.html
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones 33
3 Cómo Escribir Expresiones en
el Editor de Ecuaciones
3.1 Editor de Ecuaciones
3.1.1 Cómo Acceder al Editor de Ecuaciones
Ud. puede acceder al editor de ecuaciones a través de la tecla CAS del menú, y
la tecla
ON
(
CANCEL
) le permite salir.
Este editor es muy completo para escribir, simplificar y transformar
expresiones matemáticas.
Desde el editor de ecuaciones se pueden escribir expresiones sabiendo que el
operador que estamos tecleando nos lleva siempre a la expresión adyacente o la
expresión seleccionada sin la necesidad de usar paréntesis, únicamente
seleccionándolo!
Ud. debe entender las expresiones matemáticas como un árbol, no
necesariamente binario, y comprender que las cuatro flechas nos facilitan
recorrer el árbol de una manera natural:
Las flechas derecha e izquierda nos permiten ir de un parte a otra del
árbol.
Las flechas de arriba y abajo nos permiten subir o bajar dentro del árbol
las flechas derecha e izquierda seleccionadas con la tecla de segunda
función nos permiten varias selecciones (véase la pág. 27 el ejemplo 3).
3.1.2 ¿Cómo Seleccionar?
Ud. puede entrar en el modo selección de dos maneras:
La flecha ¨OHLQWURGXFHDPRGRVHOHFFLyQ\VHOHFFLRQDHOHOHPHQWR
adyacente al cursor.
Por ejemplo:
1 + 2 + 3 + 4 + ¨
Selecciona 4, y a continuación al seleccionar ¨VHVHOHFFLRQDWRGRHOiUERO
1 + 2 + 3 + 4.
La flecha
>
le introduce en el modo selección y selecciona al sub-árbol
adyacente al cursor.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
34 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones
Si vuelve a pulsar
>
aumentará la selección del sub-árbol contiguo, a la
izquierda de su selección.
por ejemplo:
1 + 2 + 3 + 4 +
>
Seleccione 3 + 4 a continuación
>
seleccione 2 + 3 + 4 y
>
selecciona
1 + 2 + 3 + 4
CUIDADO: Si estamos introduciendo una función con varios
argumentos (como por ejemplo un RXQR68%6HWF«ODIHFKD
>
sirve para avanzar en la escritura, cambiando el cursor de sitio. Son
efectivamente, estas fechas
>
y
<
las que le permiten el paso de un
argumento a otro. En ese caso hay que seleccionar siempre con la
fecha ¨YpDVH
Ejemplos de funcionamiento de este editor.
Pulse CAS del menú para abrir el editor de ecuaciones e introduzca las
expresiones de los ejemplos.
Teclee:
2 + X * 3 – X
Obtiene:
2 + X·3 – X
>>>
para seleccionar una expresión, y cuando pulsamos ENTER obtenemos:
2 + 2·X
Teclee:
2 + X
>
* 3 – X
Se obtiene:
(2 + X)·3 – X
>>
para seleccionar la expresión y cuando pulsamos ENTER obtenemos:
6 + 2·X
Introduzca:
2 + X
>
* ¨±;
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones 35
Obtiene:
(2 + X)·(3 – X)
>>>
para seleccionar la expresión y cuando pulsamos ENTER obtenemos:
–(X
2
– X – 6)
Ejemplo 1
Si queremos escribir:
X
2
– 3·X + 1
Tecleamos:
Xx
y
2
>
– 3·X + 1
Si queremos escribir:
–X
2
– 3·X + 1
Tecleamos:
–Xx
y
>
>
– 3·X
>
>
+ 1
Hay que seleccionar –X
2
antes de teclear lo siguiente.
Ejemplo 2
Si queremos escribir
Aquí la cumbre del árbol es un + y hay 4 sub-árboles; cada uno de ellos tendría
como pico un y posee dos hojas.
Pulsamos CAS del menú para abrir el editor de ecuaciones y escribimos el
primer sub-árbol.
1 2
Seleccionamos este árbol con:
>
Tecleamos
+
y el 2º sub-árbol
1 3
Seleccionamos ese árbol con
>
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
36 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones
Tecleamos
+
Y el 3º sub-árbol
1 4
Seleccionamos este árbol con
>
Tecleamos
+
el cuarto sub-árbol
1 5
Seleccionamos este árbol con
>
Ahora la expresión buscada
5
1
4
1
3
1
2
1
+++
Se encuentra en el editor de ecuaciones y se selecciona 1/5
Recorra el árbol para seleccionar
4
1
3
1
+
Hay que pulsar
<<
para seleccionar 1/3 y
SHIFT
>
Permite seleccionar dos sub-árboles contiguos el seleccionado y el inmediato a
la derecha en este caso:
4
1
3
1
+
NOTA:
Podemos realizar el cálculo de una parte seleccionada, tecleando ENTER.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones 37
Obtenemos:
5
1
12
7
2
1
++
donde la fracción 7/12 eta seleccionada.
Si ahora queremos realizar el cálculo parcial
5
1
2
1
+
primero hay que hacer una permutación para que 1/2 y 1/5 se junten, para ello
tecleamos
SHIFT
<
que intercambia el elemento que está seleccionado con el está a su izquierda
obtenemos:
5
1
2
1
12
7
++
y 7/12 está seleccionado, a continuación:
>
SHIFT
>
Seleccione
5
1
2
1
+
Ud. puede pulsar de nuevo ENTER.
Resumiendo: SHIFT
>
le permite seleccionar el elemento marcado y el que está
justo a su derecha.
SHIFT
<
permite cambiar el elemento seleccionado por el que está a su
izquierda.
El elemento seleccionado ha cambiado de posición pero sigue estando
seleccionado.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
38 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones
3.1.3 Cómo Modificar una Expresión
Si Ud. está escribiendo su expresión, la tecla DEL le permitirá borrar lo que
acaba de escribir.
Si Ud. está realizando alguna selección, puede:
Suprimirla sin borrar la expresión, tecleando:
DEL
El cursor se encuentra entonces al final de la expresión que desactivamos.
Sustituir la selección por una expresión, basta con teclear la expresión que se
quiere
Transformar la expresión seleccionada aplicándole una función del CAS: se
trae la función desde le menú de uno de los directorios del CAS.
Suprimir la expresión seleccionada tecleando:
ALPHA SHIFT DEL (ALPHA CLEAR)
Suprimir un operador unitario que se encuentre en el pico del árbol
seleccionado, tecleando:
SHIFT DEL (CLEAR)
Por ejemplo para sustituir SIN(expr) por COS (expr) borramos SIN
seleccionando SIN (expr), y SHIFT DEL, y tecleamos COS.
Suprimir un operador binario editando la expresión: se selecciona
Edit expr.
En el menú TOOL del menú principal se efectúa la corrección
O copiar un elemento de la historia pulsando
HOME
. La copia se hace en
el lugar del cursor, o en el lugar de la selección, cuando pulsamos desde la
historia ENTER, o en ECHO desde el menú principal.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones 39
3.1.4 Modo Cursor
El modo cursor le permite seleccionar expresiones grandes rápidamente. Para
pasar a modo cursor, Ud. debe seleccionar:
Cursor mode del menú TOOL,
y usar las fechas para incluir la selección en un recuadro (cuando deje de
utilizar la tecla de la flecha, la expresión punteada por el cursor será
encuadrada)
A continuación ENTER para seleccionar el contenido del recuadro.
3.1.5 Para ver Todo
Seleccionando Change font del menú TOOL del menú principal, el tamaño de
las letras aumenta o disminuye, esto permite ver en algunos casos la expresión
entera.
Sucede que a veces esto no es suficiente, en esos casos habría que ir a modo
cursor:
Cursor mode del menú TOOL y utilice la flecha
>
o use:
La tecla VIEWS, y la flecha
>
.
3.2 Introducir Datos en las Funciones del
CAS
Desde el editor de ecuaciones, Ud. puede utilizar todas las funciones del CAS e
introducir datos de diferentes maneras:
Principio general:
Cuando Ud. ha escrito una expresión en el editor de ecuaciones, debe pulsar
ENTER para evaluar lo que ha sido seleccionado, o para evaluar toda la
expresión si no ha seleccionado nada.
3.2.1 Cómo Escribir Y
se encuentra en el teclado, Ud. deberá teclear:
SHIFT + ( )
El signo
se encuentra también en el teclado, solo tiene Ud. que teclear:
SHIFT d/dX (
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
40 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones
Los símbolos y son consideradas como funciones predeterminadas con
varios argumentos.
y se colocan automáticamente delante (de la función prefijada) del
elemento seleccionado, si es que hubiera alguno.
El cursor se coloca en los lugares deseados y se mueve con la ayuda de:
><
Las expresiones que se introducen deben seguir la ley de selección explicada
anteriormente, pero debe entrar en modo selección usando la tecla ¨
CUIDADO, no utilizar el índice i para definir la suma puesto que i designa el
número complejo de solución X
2
+ 1 = 0.
En modo numérico efectúa cálculos aproximados.
Por ejemplo
47083333333,2
4
0!
1
=
∑
=kk
mientras
24
65
!4
1
!3
1
!2
1
!1
1
1 =++++
El símbolo ! lo puede obtener Ud. tecleando SHIFT X.
puede calcular simbólicamente las sumas de las fracciones racionales y las
series hipergeométricas que admiten una primitiva discreta.
Ejemplo:
Teclee:
∑
∞
=+⋅1)1(
1
KKK
Se selecciona todo, ENTER y se obtiene:
1
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones 41
3.2.2 Como Escribir las Funciones de Sufijo
Se denominan así a las funciones que se escriben entre sus argumentos por
ejemplo: AND | MOD,
Se pueden:
o escribir en modo Alpha (para AND MOD) y a continuación teclear los
argumentos,
o traerlos desde el menú del directorio del CAS mediante el teclado,
siempre y cuando antes se haya escrito y seleccionado el primer
argumento.
Podemos pasar de un argumento a otro con las flechas
><
La coma, permite escribir un número complejo.
Se puede escribir de dos formas 1 + 2·i ó (1,2) y los paréntesis se ponen de
forma automática cuando Ud. escribe la coma.
Si quiere escribir (-1,2) es necesario que seleccione –1 antes de escribir la
coma.
3.2.3 Cómó Escribir las Funciones de Prefijo
Generalmente, estas funciones se escriben antes de los argumentos.
Se puede escribir el primer argumento, seleccionarlo y traer la función con la
ayuda de un menú, o escribirla en modo Alpha y escribir su o sus argumentos.
Vamos a explicar con el siguiente ejemplo las diferentes posibilidades para
introducir datos.
Ud. quiere descomponer la expresión x
2
– 4 y obtener su valor para x = 4. Ya
sabe que tiene que utilizar la función FACTOR que se encuentra en el menú
ALG.
También sabe que SUBST sirve para sustituir en una expresión una variable
por un valor. Esta función la puede localizar en el menú ALGB.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
42 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones
PRIMERA POSIBILIDAD: INTRODUCIÓN DE DATOS ANTES
QUE LOS ARGUMENTOS
Pulse la tecla F2 que activa ALG de menú, seleccione FACTOR y ENTER.
FACTOR (
VHLQVFULEHHQHOHGLWRUFRQHOFXUVRUHQWUHSDUpQWHVLV
Introduzca la expresión con las normas de selección vistas anteriormente:
Xx
y
2
>
– 4
>>
Lo cual selecciona
FACTOR (X
2
– 4)
y ENTER proporciona el resultado:
(X + 2)·(X – 2)
El resultado se selecciona y sustituye el comando.
Ud. no lo ve pero después de cada ENTER hay una copia de seguridad en el
histórico de esta manera FACTOR (X
2
– 4) Y (X + 2)·(X – 2) se inscribe en la
historia.
Ahora Ud. puede borrar el resultado anterior con ALPHA SHIFT DEL
(CLEAR) ya que el resultado está seleccionado.
Pulse la tecla que activa ALG, del menú y seleccione SUBST Y ENTER
SUBST (
Se inscribe en el editor con el cursor entre los paréntesis en el lugar del primer
argumento.
Introduzca su expresión con las reglas de selección vistas anteriormente.
CUIDADO: aquí SUBST tiene dos argumentos por lo que hay que entrar en
modo de selección con ¨
Xx
y
2 ¨¨±! X = 4
>
>
Esto selecciona:
SUBST (X
2
– 4, X = 4)
y ENTER nos da el resultado:
4
2
– 4
Este resultado sustituye el comando, es seleccionado, y pulsando ENTER
obtenemos el resultado simplificado:
12
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones 43
Por supuesto SUBST (X
2
– 4, X = 4), 4
2
– 4 y 12 quedan inscritos en la
historia.
NOTA:
Cuando introducimos una función del CAS con sus argumentos, podemos
escribirla en modo Alpha con sus paréntesis.
Segunda posibilidad: introduccion de los datos despues de los argumentos
Primero escribimos la expresión que seleccionamos con las reglas vistas
anteriormente.
Tecleamos:
Xxy
2
>
– 4
>>
Y traemos FACTOR:
Pulse la tecla que activa ALG del menú, seleccione FACTOR y pulse ENTER.
Obtiene:
FACTOR (X
2
– 4)
y ENTER le da el resultado:
(X + 2)·(X – 2)
Este resultado sustituye el comando y es seleccionado.
Por supuesto FACTOR (X
2
– 4) y (X + 2)·(X – 2) quedan inscritos en la
historia.
Al ver el resultado seleccionado ya puede aplicar otro comando a su resultado.
Ya puede llamar a SUBST: pulse la tecla del menú que activa ALGB,
seleccione SUBST y pulse ENTER.
SUBST ((X + 2)·(X – 2), 3)
Se inscribe en el editor con sus paréntesis, con su expresión como primer
argumento y con el cursor en el lugar del segundo argumento.
No tiene más que teclear:
X = 4 y
>>
y ENTER.
Obtiene:
(4 + 2·( 4 – 2)
Pulse ENTER para obtener:
12
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
44 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones
Tanto SUBST ( X
2
– 4, X = 4), (4 + 2)·(4 – 2) y 12 son inscritos en la historia.
NOTA:
Mientras escribe una función puede llamar a una función del CAS,.esta función
tendrá como primer argumento lo que está seleccionado o nada, si no ha
seleccionado nada. El cursor estará situado en la posición para poder completar
los argumentos.
3.3 Variables
Ud. puede almacenar objetos en las variables, y volver a utilizarlas, usando el
nombre de las variables.
CUIDADO!!!
1. Las variables utilizadas en el CAS no pueden ser utilizadas en
HOME
y
viceversa
2. Se utiliza STO
>
para almacenar un objeto en una variable del
HOME
o
en el editor del programa y se escribe en la serie STO
>
ó
>
.
3. En CAS hay que utilizar el comando STORE (véase 3.3.2) Para almacenar
los valores en las variables
4. La tecla VARS visualiza un menú con todas las variables que están a su
disposición.
5. Cuando pulsa esta tecla desde
HOME
aparecen las variables autorizadas
en
HOME
y en las Aplets.
6. Cuando Ud. la pulsa desde el editor de ecuaciones aparecen las variables
definidas en el CAS.
3.3.1 STO
>
STO
>
permite almacenar un objeto en una variable de
HOME
, los nombres de
las variables numéricas de
HOME
son las 26 letras del abecedario y los
nombres de las variables simbólicas de
HOME
son S1…S5.
CUIDADO Las variables A…Z están siempre a su disposición y contienen
siempre un valor real.
Por ejemplo: Si Ud. usa STO
>
del menú
HOME
o del editor de programas,
introduzca:
1 STO
>
A
En la pantalla aparece:
1
>
A a partir de este momento A pierde su valor anterior y lo sustituye por 1.
A se le asigna el contenido de A
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones 45
NOTA:
La variable simbólica S1 de
HOME
sirve como variable real cuando se utilizan
algunas funciones del CAS desde
HOME
.
Ejemplo: Si x está en VX, escribimos desde
HOME
:
DERVX (S12 + 2 S1)
para obtener 2 S1 + 2
3.3.2 STORE
Dentro del CAS, podemos usar el comando STORE para almacenar un objeto
en una variable, usar la tecla VARS desde el editor de ecuaciones (desde NEW
del menú véase 2.5.3.)
Se puede utilizar cualquier nombre de variable, pero en STORE este nombre
debe estar precedido de la función QUOTE la cual permite distinguir el
nombre de la variable QUOTE (ABC) de su contenido ABC.
STORE y QUOTE están en el menú ALG del menú del editor de ecuaciones.
Ejemplo:
Teclee
STORE (X
2
– 4·QUOTE(ABC))
O teclee:
X
2
– 4
Se selecciona, y se usa la función STORE, a continuación tecleamos
QUOTE(ABC)
ENTER valida la definición de la variable ABC.
Para borrar la variable, hay que utilizar la tecla VARS desde el editor de
ecuaciones ( y PURGE del menú principal véase 2.5.3) o utilizar el comando
UNASSIGN del menú ALG, por ejemplo, introduzca:
UNASSIGN (QUOTE(ABC))
3.3.3 Las Variables Predefinidas del CAS
VX contiene el nombre de la variable real.
Generalmente suele ser X, por lo que no se puede utilizar la x como variable
numérica, o bien puede borrar el contenido de X con el comando UNASSIGN
del menú ALGB, antes de realizar el cálculo simbólico, tecleando por ejemplo:
UNASSIGN (QUOTE(X))
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
46 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de Ecuaciones
EPS contiene el valor de Epsilon utilizado en el comando EPSXO (véase
4.13.2)
MODULO contiene el valor de p, para realizar el cálculo simbólico en Z/Pz se
puede cambiar el valor de p con el comando MODSTO del menú MODULAR,
tecleando por ejemplo: MODSTO (13), para asignarle a p el valor 13, o usar
CFG de los menús del CAS.
PERIOD debe contener el periodo de la función de la cual queremos los
coeficientes de Fourier (véase 4.11.6)
PRIMIT contiene la primitiva de la última función integrada
REALASSUME contiene el nombre de las variables simbólicas que se
consideran reales, por defecto son:
X, t, Y todas las variable de integración usadas.
También se pueden hacer suposiciones sobre el dominio de definición de una
variable por ejemplo: X > 1.
En este caso hay que utilizar el comando ASSUME (X > 1) para que
REALASSUME contenga X > 1.
El comando UNASSUME (X) borrará todas las hipótesis hechas sobre X.
Para ver estas variables y las que Ud. ha definido en el CAS, debe pulsar
VARS desde el editor de ecuaciones (véase 2.5.3.)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 47
4 Funciones de Cálculo
Simbólico
4.1 Menú del CAS
Solamente el menú TOOL contiene los comandos, los otros menús permiten la
actualización de la configuración y contienen funciones algebraicas que se
pueden escribir en modo Alpha.
4.1.1 CFG
Todos los menús excepto TOOL, visualizan el estado actual de su
configuración y tienen la posibilidad de cambiarlo.
Por ejemplo si Ud. ve en la primera línea de menú
CFG : R = X S
quiere decir que está Ud. en el modo real exacto, que X es la variable real y
que Ud. esta utilizando el modo paso a paso (S).
Seleccione CFG y pulse OK
En el encabezamiento aparece:
CFG:R = STEP
‘X’ 3
Quiere decir que Ud. está en modo real exacto, que ha seleccionado el modo
paso a paso y que los polinomios están escritos en potencias crecientes, que X
es la variable real, que los cálculos del los módulos se harán en Z/13Z (p = 13)
y que está en modo rigourous (se ponen valores absolutos).
Ud. puede modificar esta configuración, seleccionando lo que quiera
modificar, entre:
Quit config (cuando se hayan terminado los cambios)
Complex o Real
Approx o Exact
Direct o Step/Step si se quiere trabajar en modo paso a paso
X
2
+ X + 1 o 1 + X + X
2
… para escribir polinomios
Rigourous o Sloopy para no trabajar con valores absolutos
Symb factor o Num. factor
Default cfg (Configuración R = DRCT
;
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
48 Funciones de Cálculo Simbólico
Pulse OK para validar cada elección
Se sale del menú CFG pulsando o validando Quit Config por OK.
El nombre de la variable real contenida en VX y el valor de la variable
MODULO pueden combinarse con las teclas SHIFT SYMB (SETUP) o
ayudado de la tecla VARS (véase 2.5.6 y 2.5.3)
NOTA:
En el CAS los ángulos siempre están en radianes, puede cambiar la
configuración con las teclas SHIFT SYMB (SETUP) para ello consulte la
sección 2.5.6.
4.1.2 TOOL
Ver la sección 2.4. para la descripción de las funciones que están en el
directorio TOOL.
Cursor mode
Edit expr.
Change font
4.1.3 ALG
COLLECT
DEF
EXPAND
FACTOR
PARTFRAC
QUOTE
STORE
I
SUBST
TEXPAND
UNASSIGN
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 49
4.1.4 DIFF&INT
DERIV
DERVX
DIVPC
FOURIER
IBP
INTVX
LIMIT
PREVAL
RISCH
SERIES
TABVAR
TAYLORO
TRUNC
4.1.5 REWRITE
DISTRIB
EPSXO
EXPLN
EXP2POW
FDISTRIB
LIN
LNCOLLECT
POWEXPAND
SINCOS
SIMPLIFY
XNUM
XQ
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
50 Funciones de Cálculo Simbólico
4.1.6 SOLVE
DESOLVE
ISOLATE
LDEC
LINSOLVE
SOLVE
SOLVEVX
4.1.7 TRIG
ACOS2S
ASIN2C
ASIN2T
ATAN2S
FOURIER
HALFTAN
SINCOS
TAN2CS2
TAN2SC
TAN2SC2
TCOLLECT
TEXPAND
TLIN
TRIG
TRIGCOS
TRIGSIN
TRIGTAN
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Funciones de Cálculo Simbólico 51
4.1.8 TECLA MATH
Además de los directorios arriba nombrados (ALGEBRA DIFF&INT
REWRITE TRIG SOLVE) Ud. también puede encontrar:
Complex – (ABS ARG CONJ DROITE FLOOR IM MOD – RE SIGN)
Constant – (e i 8 pi)
Hypbolic – (ACOSH ASINH ATANH COSH SINH TANH)
Integer – (DIVIS EULER FACTOR GCD IEGCD IQUOT IREMAINDER
ISPRIME? LCM NEXTPRIME PREVPRIME)
Modular – (ADDTMOD DIVMOD EXPANDMOD FACTORMOD
GCDMOD INVMOD MODSTO MULTMOD POWMOD SUBTYMOD)
Polynom – (EGCD FACTOR GCD HERMITE LCM LEGENDRE
PARTFRAC PROPFRAC PTAYL QUOT REMAINDER TCHEBYCHEFF)
Tests – (ASSUME UNASSUME > AND OR NOT IFTE).
Para la descripción de los diferentes directorios ver las secciones 2.4 y 2.5.1.
4.2 Paso a Paso
El modo paso a paso (Step /Step o en abreviatura S) se elige cuando se quieren
ver los cálculos detallados.
El detalle de los cálculos se visualiza en una pantalla y hay que pulsar OK del
menú para ver el paso siguiente.
Pero a veces, la pantalla no es lo suficientemente grande para ver toda la
información.
Para movernos por la pantalla usamos las flechas y veremos lo que nos
falta.
Si no ve los detalles de los cálculos tiene que optar por el modo Direct ( en
abreviatura D)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
52 Funciones de Cálculo Simbólico
4.3 Escritura Normal
La calculadora puede trabajar con números enteros con precisión infinita.
Inténtelo:
100!
Para obtener el símbolo ! pulse SHIFT x
La escritura decimal de 100! es muy larga, se puede ver el resultado pulsando
la tecla VIEWS.
4.3.1 DEF
Vea el ejercicio siguiente:
Calcular los seis primeros números de Fermat
12
2
+=
k
k
F para k = 1..6 y
decir si son primos.
Teclear la expresión
12
2
2
+
Se obtiene 17, a continuación se lanza el comando ISPRIME? (). Este
comando está en el menú Integer de la tecla MATH.
La solución es 1, que quiere decir verdadero. Gracias a la historia (tecla
HOME
) se puede volver a escribir la ecuación 2
2 2
+ 1 en el editor de
ecuaciones y se modifica así:
12
3
2
+
O si lo prefiere, y es el mejor método, puede definir la función F(X) con el
DEF del menú ALGB del menú principal:
)12)((DEF
2
+=
K
KF
La solución
12
2
+
K
y F se incluye entre las variables (pulsar VARS para
verificar)
Para K = 5 teclee:
F(5)
Obtiene:
4294967297
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 53
Se puede descomponer F5 con FACTOR que está en el menú ALGB del menú
principal:
Teclee:
FACTOR (F(5))
Obtiene
641·6700417
Para F(6) obtiene:
18446744073709551617
Se descompone con FACTOR, obtiene:
274177,67280421310721
CUIDADO es diferente:
y
2·5 = 10
4.4 Números Enteros (Y Los Enteros de
Gauss)
Todas las funciones de este apartado se encuentran en el menú Integer de la
tecla MATH.
Para algunas funciones, se pueden utilizar los enteros de Gauss, número de la
forma a + ib, siendo a y b enteros.
4.4.1 DIVIS
DIVIS nos muestra la lista de los divisores de un número entero.
Teclee:
DIVIS (12)
Se obtiene:
12 OR 6 OR 3 OR 4 OR 2 OR 1
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
54 Funciones de Cálculo Simbólico
4.4.2 EULER
Euler designa el indicador de Euler de un número entero.
EULER(n) es el cardinal del conjunto de los números inferiores a n y primos
con n.
Teclee:
EULER(21)
Obtiene:
12
Efectivamente el conjunto:
E = {2,4,5,7,8,10,11,13,15,16,17,19} corresponde a los números, más
pequeños que 21, primos con 21, y E tiene como cardinal12.
4.4.3 FACTOR
FACTOR descompone un número entero en productos de factores primos.
Teclee:
FACTOR (90)
Obtiene:
2·3
2
·5
4.4.4 GCD
GCD designa el MCD de dos números enteros.
Teclee:
GCD (18,15)
Obtiene:
3
Con el modo paso a paso, teclee:
GCD (78,24)
obtiene: 78 mod 24 = 6
24 mod 6 = 0
Result 6
ENTER envía 6 al editor de ecuaciones.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 55
4.4.5 IEGCD
IEGCD (A,B) nombra el MCD detallado (identidad de Bézout) de dos números
enteros.
IEGCD (A,B) devuelve U AND V = D con U,V, D verificando:
AU + BV = D y D = PGCD(A,B).
Teclee:
IEGCD (48,30)
Obtiene:
2 AND –3 = 6
Efectivamente:
2·48 + (–3)·30 = 6
Con el modo paso a paso:
Z = u * 48 + v * 30
[48,1,0]
[30,0,1] * –1
[ 18,1,-1] * –1
[12,1,-2] * –1
[6,2,-3] * –2
Resulta: [6,2,–3]
y ENTER,
2 AND –3 = 6
queda escrita en el editor de ecuaciones.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
56 Funciones de Cálculo Simbólico
4.4.6 IQUOT
IQUOT designa el cociente entero de la división euclidiana de 2 números
enteros.
Teclee:
IQUOT (148,5)
Obtiene:
29
Con el modo paso a paso la división se hace como en el colegio:
148 | 5
48 | ---
3| 29
OK para ejecutar la división paso a paso, y a continuación ENTER, y 29 nos
aparecerá en el editor de ecuaciones.
4.4.7 IREMAINDER MOD
IREMAINDER designa el resto entero de la división euclidiana de dos
números enteros
IREMAINDER se encuentra en el menú Integer y MOD está en el menú
Complex de la tecla MATH.
Introduzca:
IREMAINDER (148,5)
o
148 MOD 5
Obtiene:
3
IREMAINDER trabaja con números enteros o enteros de Gauss, esto lo
diferencia de MOD.
Ejemplo: IREMAINDER (2 + 3.i, 1 + i) devuelve i
MOD acepta números reales (7.5 mod 2 = 1.5) pero no números enteros de
Gauss.
Inténtelo: (! se escribe con SHIFT X)
IREMAINDER (148!,5! + 2)
Con el modo paso a paso la división se calcularía como en el colegio (véase
4.4.6)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 57
4.4.8 ISPRIME?
ISPRIME?(N) devuelve 1 (verdadero) si N es pseudo-primo y devuelve o
(falso) si N no es primo.
Definición: para los números inferiores a 10
14
los números pseudo-primo y
primos coinciden… pero a partir de 10
14
un número pseudo-primo es primo
con una probabilidad muy alta (véase el agoritmo de Rabin sección 7.6)
Teclee:
ISPRIME? (13)
obtiene:
1
Teclee:
ISPRIME?(14)
Obtiene:
0
4.4.9 LCM
LCM designa MCM de dos números enteros.
Teclee:
LCM(18,15)
obtiene:
90
4.4.10 NEXTPRIME
NEXTPRIME(N) designa el primer número pseudo primo encontrado después
N.
Teclee:
NEXTPRIME (75)
Obtiene:
79
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
58 Funciones de Cálculo Simbólico
4.4.11 PREVPRIME
PREVPRIME (N) designa el primer número pseudo-primo encontrado antes de
N.
Teclee:
PREVPRIME (75)
obtiene:
73
4.5 Calculo Modular
Todas las funciones de este párrafo están en le menú Modular de la tecla
MATH.
Ud. puede hacer cálculos módulo p, es decir en Z/pZ o en Z/pZ[X].
CUIDADO: con algunos comandos hay que elegir un número p primo.
En los siguientes ejemplos utilizaremos p = 13
Por lo tanto habremos tecleado:
MODSTO (13)
o hemos cambiado MODULO en la ventana abierta con las teclas SHIFT
SYMB (SETUP)
La representación elegida es la representación simétrica (–1 en lugar de 6
módulo 7)
4.5.1 ADDTMOD
ADDTMOD realiza una suma en Z/pZ[X].
Teclee:
ADDTMOD(11X + 5,8X + 6)
obtiene:
6X – 2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 59
4.5.2 DIVMOD
Los argumentos son dos polinomios A[X] y B[X]…El resultado es la fracción
racional
simplificada en Z/pZ[X].
Teclee:
DIVMOD (2X
2
+ 5, 5X
2
+ 2X – 3)
Obtiene:
66
35
+
+
X
X
4.5.3 EXPANDMOD
EXPANDMOD tiene como argumento una expresión polinomica.
EXPANDMOD desarrolla esa expresión en Z/pZ[X].
Teclee:
EXPANDMOD ((2X
2
+ 12)·(5X – 4))
Obtiene:
–(3X
3
– 5X
2
+ 5X – 4)
4.5.4 FACTORMOD
FACTORMOD tiene como argumento un polinomio.
FACTORMOD descompone ese polinomio en Z/pZ[X] solo si p 97 y p
primo.
Teclee:
FACTORMOD (–(3X
3
– 5X
2
+ 5X – 4))
obtiene:
–((3x – 5)(x
2
+ 6))
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
60 Funciones de Cálculo Simbólico
4.5.5 GCDMOD
GCDMOD tiene dos polinomios como argumentos.
GCDMOD calcula el MCD de dos polinomios en Z/pZ[X].
Tecleamos:
GCDMOD (2X
2
+ 5, 5X
2
+ 2X – 3)
obtiene:
–(4X – 5)
4.5.6 INVMOD
INVMOD tiene como argumento un número entero.
INVMOD calcula el inverso de ese número en Z/Pz.
Teclee:
INVMOD (5)
Se obtiene (car 5x – 5 = –25 = 1 (mod 13)):
–5
4.5.7 MODSTO
Se introduce en la variable MODULO, el valor de p con el comando
MODSTO.
Aquí, en los ejemplos consideramos que p = 13 que es su valor por defecto, si
no hay que suponer que hemos tecleado:
MODSTO (13)
4.5.8 MULTMOD
MULTMOD efectúa una multiplicación en Z/pZ[X].
teclee:
MULTMOD(11X + 5, 8X + 6)
obtiene:
–(3X
2
– 2X – 4)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 61
4.5.9 POWMOD
POWMOD(A,N) calcula A con la potencia N en Z/pZ y POWMOD(A(X), N)
Calcula A(X) con la potencia N en Z/pZ[X].
El contenido p de MODULO debe de ser un número primo inferior a 100.
teclee:
POWMOD(11,195)
obtiene:
5
En efecto, 11
1
2 = 1 mod 13 entonces 11
1
95 = 11
3
= 5 mod 13 teclee:
POWMOD(2X + 1,5)
Se obtiene:
6·X
5
+ 2·X
4
+ 2·X
3
+ X
2
– 3·X + 1
ya que:
10 = –3 (mod 13) 40 = 1 (mod 13) 80 = 2 (mod 13) 32 = 6 (mod 13)
4.5.10 SUBTMOD
SUBTMOD efectúa una suma en Z/pZ[X].
teclee:
SUBTMOD (11X + 5, 8X + 6)
obtiene:
3X – 1
4.6 Numeros Racionales
Intente:
21
57
12
123
+
Seleccione y pulse ENTER, la respuesta será:
28
365
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
62 Funciones de Cálculo Simbólico
Si aplica la función XNUM del menú REWRITE o si pulsa la tecla NUM, la
respuesta será:
12,9642857143
Si mezcla las dos representaciones, por ejemplo:
5,0
2
1
+
La calculadora le va a pedir que pase al mode approx para poder efectuar el
cálculo, conteste yes para obtener:
1
vuelva luego en modo exacto (CFG etc…).
4.6.1 PROPFRAC
PROPFRAC está en el menú Polynom de la tecla MATH.
PROPFRAC
)(
B
A
escribe la fracción A/B con la siguiente forma:
Q +
B
R
con 0 = R B
Teclee:
12
43
PROPFRAC
obtiene:
12
7
3+
4.7 Numeros Reales
Pruebe con:
)20*(EXP
π
selecciónelo y pulse ENTER la solución será:
)*5*2(EXP
π
si aplica la función XNUM del menú la solución será:
1263794,7537
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 63
En el menú Complex de la tecla MATH encontrará las funciones explicadas a
continuación:
FLOOR y MOD
4.7.1 FLOOR
FLOOR tiene como argumento un número real y le devuelve su parte entera.
Teclee:
FLOOR (3,53)
Obtiene:
3
4.7.2 MOD
MOD es una función insertada cuyo argumento son dos números enteros.
MOD devuelve el resto de la división euclidiana de los argumentos.
Teclee:
3 MOD 2
obtiene:
1
4.8 Numeros Complejos
NOTACION: Los números complejos de tipo a + bi, donde a y b son números
reales se pueden escribir como (a,b) o a + bi
Las operaciones que podemos realizar son +, –, *, / ,¯.
Teclee:
(1 + 2·i)
2
Selecciónelo y pulse ENTER.
Si no está en modo Complex la calculadora le preguntará si quiere cambiar de
modo, conteste yes y obtendrá:
–(3 + 4·i)
Esta expresión no se puede simplificar más (los resultados siempre mostraran
que se trata de un número complejo con una parte real positiva, en modo
exact).
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
64 Funciones de Cálculo Simbólico
En el menú
Complex
de la tecla MATH, encontrará las funciones siguientes
cuyo parámetro es una expresión con un valor complejo:
DROITE
tiene como parámetro dos números complejos
DROITE
devuelve la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos de afijo
z1, z
ARG
para determinar el argumento del parámetro
ABS
para determinar el módulo del parámetro
CONJ
para determinar el conjugado del parámetro
RE
para determinar la parte real del parámetro
IM
para determinar la parte imaginaria del parámetro
para determinar el opuesto del parámetro,
SIGN
para determinar el cociente del parámetro y su módulo.
4.8.1 ARG
Teclee:
ARG(3 + 4·i)
Obtiene (no olvide que en el CAS usamos radianes)
)
3
4
(ATAN
NOTA:
Ud. puede realizar el mismo cálculo desde
HOME
, pero obtendría el resultado
numérico 0.64250…(si está Ud. en radianes)
Desde
HOME
debe teclear:
ARG(XQ(3 + 4·i))
para obtener:
)
3
4
(ATAN
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 65
4.8.2 DROITE
Teclee:
DROITE((1,2),(0,1))
o teclee:
DROITE(1 + 2·i,i)
obtiene:
y = x – 1 + 2
Pulse ENTER para obtener:
y = x + 1
4.9 Expresiones Algebraicas
Todas las funciones de este apartado están en el menú ALGB del menú
principal.
4.9.1 COLLECT
COLLECT tiene como parámetro una expresión.
COLLECT descompone esta expresión en los números enteros.
Ejemplo:
Descomponer en los números enteros:
X
2
– 4
teclee:
COLLECT (X
2
– 4)
Si está en modo real:
(X + 2)·(X – 2)
Descomponer sobre los números enteros:
X
2
– 2
teclee:
COLLECT (X
2
– 2)
obtiene:
X
2
– 2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
66 Funciones de Cálculo Simbólico
4.9.2 EXPAND
EXPAND tiene como parámetro una expresión.
EXPAND desarrolla y simplifica esa expresión.
Teclee:
))1X2()1X2X((EXPAND
22
+⋅−⋅+⋅+ X
obtiene:
x
4
+ 1
4.9.3 FACTOR
FACTOR tiene como parámetro una expresión.
FACTOR descompone esa expresión.
Ejemplo:
Descomponer:
X
4
+ 1
teclee:
FACTOR(X
4
+ 1)
Ud. puede encontrar FACTOR en el menú ALGB
En modo real tiene:
)1X2X()1X2X(
22
+⋅−⋅+⋅+
En modo complejo (utilizando CFG):
×
⋅+−⋅⋅++
16
)2)1(X2()2)1(X2( ii
16
)2)1(X2()2)1(X2( ⋅−−⋅⋅−+ ii
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 67
4.9.4 |
| es un operador integrado útil para reemplazar una variable en una expresión
(similar a la función SUBST).
teclee:
X
2
– 1 |X = 2
obtiene:
2
2
– 1
4.9.5 SUBST
SUBST tiene dos parámetros: una expresión que depende de un parámetro y
una igualdad (parámetro = valor substituido)
SUBST realiza dicha sustitución.
Teclee:
SUBST(A
2
+ 1, A = 2)
obtiene:
2
2
+ 1
4.10 Polinomios
Todas las funciones de este apartado están en el menú Polynom de la tecla
MATH
4.10.1 DEGREE
DEGREE tiene como argumento un polinomio de la variable real.
DEGREE devuelve el grado de ese polinomio.
CUIDADO:el grado de un polinomio nulo es –1.
teclee:
DEGREE (X
2
+ X + 1)
Obtiene:
2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
68 Funciones de Cálculo Simbólico
4.10.2 EGCD
Trata de la identidad de Bézout (Extended Greatest Common Divisor).
EGCD(A(X),B(X)) devuelve U(X) AND V(X) = D(X) con D,U,V verificando:
D(X) = U(X)·A(X) + V(X)·B(X)
introduzca:
EGCD (X
2
+ 2X + 1, X
2
– 1)
obtiene:
1 AND –1 = 2·X + 2
teclee:
EGCD(X
2
+ 2·X + 1,X
3
– 1)
obtiene:
–(X + 2) AND 1 = 3·X + 3
4.10.3 FACTOR
FACTOR tiene como argumento un polinomio:
FACTOR descompone ese polinomio.
teclee:
FACTOR (X
2
– 2)
obtiene:
)2()2( −⋅+ XX
teclee:
FACTOR (X
2
+ 2·X + 1)
obtiene:
(X + 1)
2
teclee:
FACTOR (X
4
– 2·X
2
+ 1)
obtiene:
(X – 1)
2
·(X + 1)
2
teclee:
FACTOR (X
3
– 2·X
2
+ 1)
obtiene:
4
))51(X2()51X2()1X( +−⋅+−+⋅−
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 69
4.10.4 GCD
GCD define el MCD (máximo común divisor) de dos polinomios.
teclee:
GCD (X
2
+ 2·X + 1, X
2
– 1)
obtiene:
X + 1
4.10.5 HERMITE
HERMITE tiene como argumento un número entero n.
HERMITE devuelve el polinomio de HERMITE de grado n.
Se trata del polinomio:
Hn(x) = (–1)
n
·e x2/2 d
n
/dx
n
e –x
2
/2
Tenemos:
Para n 0
H
n
(x) – xH
n
(x) + nH
n
(x) = 0
y para n 1
H
n + 1
(x) – xH
n
(x) + nH
n – 1
(x) = 0
H
n
(x) = nH
n – 1
(x)
Teclee:
HERMITE (6)
obtiene:
64·X
6
– 480·X
4
+ 720·X
2
– 120
4.10.6 LCM
LCM designa el mcm (mínimo común múltiplo) de dos polinomios.
Teclee:
LCM(X
2
+ 2·X + 1,X
2
– 1)
obtiene:
(X
2
+ 2·X + 1)·(X – 1)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
70 Funciones de Cálculo Simbólico
4.10.7 LEGENDRE
LEGENDRE tiene como argumento un número entero n.
LEGENDRE devuelve el polinomio Ln no es la única solución de la ecuación
diferencial:
(x
2
– 1)·y – 2·x·y – n(n + 1)·y = 0
Ud. tiene:
para n 0 la formula de Rodriguès
L
n
(x) = 1/n!2
n
d
n
/dx
n
(x
2
– 1)
n
y para n 1
(n + 1)L
n + 1
(x) = (2n + 1)xL
n
(x) – nL
n – 1
(x)
Introduzca:
LEGENDRE(4)
obtiene:
8
3X30X35
24
+⋅−⋅
4.10.8 PARTFRAC
Descomponer en elementos simples la fracción racional:
1222
12
234
35
+×−×+×−
+×−
xxxx
xx
Se usa el comando PARTFRAC
Introduzca:
+×−×+×−
+×−
1X2X2X2X
1X2X
PARTFRAC
234
35
Obtiene en modo real:
1
2
3
1
2
1
2
2
+
−
+
−
−
++
X
X
X
X
Obtiene, en modo complejo:
iX
i
XiX
i
X
−
−
+
−
−
+
+
−
++
4
31
1
2
1
4
31
2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 71
4.10.9 PROPFRAC
PROPFRAC tiene como argumento una fracción racional.
PROPFRAC devuelve esa fracción, escrita de manera que destaca su parte
entera.
PROPFRAC (A(X)/B(X)) escribe la fracción racional A x /B x
[]
[]
[]
XB
XR
XQ +
con R x = 0 ó 0 deg(R x ) < deg(B x ).
Teclee:
+
−⋅+⋅
2
)1()35(
PROPFRAC
X
XX
obtiene:
2
21
125
+
+−⋅
X
X
4.10.10 PTAYL
Se trata de escribir un polinomio P x con las potencias x-a.
PTAYL tiene dos parámetros: un polinomio P y un número a.
Teclee:
PTAYL(X
2
+ 2·X + 1,2)
se obtiene el polinomio Q x :
X
2
+ 6·X + 9
CUIDADO, tenemos:
P(X) = Q(X – 2)
4.10.11 QUOT
QUOT devuelve el cociente de dos polinomios en la división, según las
potencias decrecientes.
teclee:
QUOT(X
2
+ 2·X + 1·X)
obtiene:
X + 2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
72 Funciones de Cálculo Simbólico
4.10.12 REMAINDER
REMAINDER devuelve el resto de la división de dos polinomios (división
según las potencias decrecientes)
Teclee:
REMAINDER(X
3
– 1,X
2
– 1)
obtiene:
X – 1
4.10.13 TCHEBYCHEFF
TCHEBYCHEFF tiene como argumento un número entero.
Si n > 0, TCHEBYCHEFF devuelve el polinomio Tn tal que:
T
n
[x] = cos(n·arccos(x))
tiene:
para 0
T
n
(x) = [n/2] k = 0 C 2k
n
(x
2
– 1)
k
x
n – 2k
para n 0
(1 – x
2
)T00
n
(x) – xT0
n
(x) + n2Tn(x) = 0
para n 1
T
n + 1
(x) = 2xTn(x) – T
n – 1
(x)
Si n < 0 TCHEBYCHEFF devuelve el polinomio de Tchebycheff de segunda
especie:
(x))sin(arccos
arccos(x))sin(n
Tn[x]
⋅
=
teclee:
TCHEBYCHEFF(4)
obtiene:
8·X
4
– 8·X
2
+ 1
Efectivamente:
cos(4·x) = Re((cos(x) + I·sin(x))
4
)
cos(4·x) = cos(x)
4
– 6·cos(x)
2
·(– cos(x)
2
) + ((1 – cos(x)
2
)
2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 73
cos(4·x) = T
4
(cos(x))
introduzca:
TCHEBYCHEFF(–4)
Obtiene:
8·X
3
– 4·X
Efectivamente:
sin(4·x) = sin(x)·(8·cos(x)
3
– 4·cos(x)).
4.11 Funciones
Todas las funciones de este apartado están en el menú DIFF del menú
principal, excepto DEF que se encuentra en el menú ALGB y IFTE en el menú
Tests de la tecla MATH.
4.11.1 DEF
DEF tiene como argumento una igualdad entre el nombre de una función con
paréntesis que contienen el nombre de una variable, y una expresión de define
la función.
DEF define esta función y devuelve una igualdad.
Teclee:
DEF(U(N) = 2
N
+ 1)
Obtiene:
U(N) = 2
N
+ 1
Teclee:
U(3)
Obtiene:
9
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
74 Funciones de Cálculo Simbólico
4.11.2 IFTE
IFTE tiene tres argumentos, uno booleano (cuidado con el ==) y dos
expresiones expr1, expr2.
IFTE evalúa el test, devuelve expr1 si es verdadero y expr2 si es falso,
Teclee:
STORE(2,QUOTE(N))
IFTE(N = = 0,1, N + 1 / N )
Obtiene:
3 / 2
Ud. puede definir una función con la ayuda de IFTE, por ejemplo:
DEF(F(X) = IFTE(X = = 0,1, SIN(X) / X ))
Define la función f para:
f(x) = 1 si x = 0
sin(x)/x si x
4.11.3 DERVX
Ud. tiene:
−
+
+
−
=
1
1
LN
1
)(
2
x
x
x
x
xf
Calcular la derivada de f
Teclee:
−
+
+
−
1
1
LN
1
(DERVX
2
x
x
x
x
o si Ud. ha almacenado la expresión de f(x) en F, es decir, si ha introducido:
DERVX(F)
o si ha definido F(X) con la ayuda de DEF:
−
+
+
−
=
1
1
LN
1
)(DEF
2
X
X
X
X
XF
DERVX(F(X))
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 75
Ud. obtiene una operación compleja que se puede simplificar pulsando
ENTER.
Obtiene:
12
13
24
2
+⋅−
−
−
XX
X
4.11.4 DERIV
DERIV tiene dos argumentos una expresión (o una función) y una variable.
DERIV devuelve la variable de la expresión (o de la función) en relacción a la
variable del segundo parámetro
(muy útil para calcular derivadas parciales)
Ejemplo:
Se tiene que calcular:
z
yxzyx
∂
⋅+⋅⋅∂ )(
32
Teclee:
DERIV(X·Y
2
·Z
3
+ X·Y, Z)
Obtiene:
3·X·Y
2
·Z
2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
76 Funciones de Cálculo Simbólico
4.11.5 TABVAR
TABVAR tiene como parámetro una expresión con una derivada racional
TABVAR devuelve una tabla con las variaciones de esa expresión, en función
de la variable real.
Teclee:
TABVAR (LN(X) + X)
Obtiene en modo paso a paso:
X
X
x
F
XXLNF
1
:
1
1
(:
))((:
+
→
+=
′
+=
Tabla de variación:
∞+↑∞−−
∞++−∞−
Fi
X
?1.??
0?1?
π
4.11.6 FOURIER
FOURIER tiene dos parámetros: 1 expresión f(x) y un número entero n.
FOURIER devuelve el coeficiente de Fourier cn de f(x) considerada como una
función definida en 0,T y periódica de periodo T( siendo T igual al contenido
de la variable PERIOD)
Si f es contínua por fragmentos, obtenemos:
∑
+∞
−∞=
=
n
T
inx
n
ecxf
π
2
)(
Ejemplo: Determinar los coeficientes de Fourier de la función f periódica, de
periodo 2· y definida en 0 2· para f(x) = x
2
Teclee:
STORE(2· , QUOTE(PERIOD))
FOURIER (X2,N)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 77
Tras la simplificación se obtiene:
2
22
N
Ni +⋅⋅⋅
π
si n 0 tenemos
2
22
N
Ni
c
n
+⋅⋅⋅
=
π
Teclee:
FOURIER(X
2
,0)
Obtiene:
3
4
2
π
⋅
Si n = 0:
3
4
2
0
π
⋅
=c
4.11.7 IBP
IBP tiene dos parámetros: una expresión de la forma u(x) v’(x) y v(x).
IBP devuelve el AND de u(x)·(x) y de –v(x)·'(x), es decir los términos que hay
que calcular cuando se hace una integración por partes.
Le queda por calcular la integral del segundo término del AND, y la suma con
el primer término del AND para obtener una primitiva de u(x)v'(x)
Teclee:
IBP(LN(X),X)
Obtiene:
X·LN(X) AND –1
La integral se finaliza llamando INTVX:
INTVX(X·LN(X) AND – 1)
Obtiene:
X·LN(X)·X
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
78 Funciones de Cálculo Simbólico
NOTA:
SI el primer parámetro de IBP es el AND del segundo elemento, IBP sólo
actúa sobre el último elemento del AND y añade el término integrado al primer
elemento de AND ( de manera que se pueden realizar varios IBP seguidos)
4.11.8 INTVX
Ejercicio 1
Calcula primera primitiva de sin(x) x cos(x)
Teclee:
INTVX(SIN(X) * COS(X))
paso a paso:
COS(X)· SIN(X)
Int u' * F(u) with u = SIN(X)
Pulse OK y el resultado aparecerá en el editor de ecuaciones:
SIN (X)2/2
Ejercicio 2
Sea:
−
+
+
−
=
1
1
LN
1
)(
2
x
x
x
x
xf
Calcular una primitiva de f(x)
Teclee:
)
1
1
LN
1
(INTVX
2
−
+
+
−
x
x
x
x
Si ha almacenado la expresión de f(x) en F
INTVX (F)
o si ha definido F(X) con la ayuda de DEF
−
+
+
−
=
1
1
LN
1
)(DEF
2
X
X
X
X
XF
INTVX(F(X))
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 79
Obtiene:
() ()
1LN
2
3
1LN
2
3
1
1
LN +⋅+−⋅+
−
+
⋅ XX
X
X
X
Ejercicio 3
Calcule:
∫
+⋅+
dx
x
x
x
246
2
2
Teclee:
+⋅+
246
2
2
INTVX
XXX
Obtiene:
1
2
)(ATAN3
2
+
−−⋅−
X
X
X
X
NOTA:
También Ud. puede introducir:
∫
+⋅+
X
dX
XXX
1
246
2
2
que le da el mismo resultado más la siguiente constante:
4
103 +⋅
π
Ejercicio 4
Calcular:
∫
⋅+
dx
xx )2sin()sin(
1
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
80 Funciones de Cálculo Simbólico
Teclee:
⋅+ )2(SIN)(SIN
1
INTVX
XX
Obtiene:
++⋅+−⋅ )1)((LN
2
1
)1)((LN
6
1
XCOSXCOS
)2(LN)1)(2(LN
3
2
−+⋅⋅
−
XCOS
NOTA:
Si el parámetro de INTX es el AND de dos elementos, INTVX sólo actúa
sobre el segundo elemento del AND.
4.11.9 LIMIT
Encontrar el límite para n > 2 cuando x tiende a cero de :
)sin()sin(
)tan()tan(
xnxn
xnxn
×−×
×−×
Se usa el comando LIMIT
Teclee:
⋅−⋅
⋅−⋅
0,
)(SIN)(SIN
)(TAN)(TAN
LIMIT
XNXN
XNXN
Obtiene:
2
Encontrar el límite cuando x tiende a + de:
xxxx −++
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 81
Teclee:
),(LIMIT +∞−++ XXXX
Después de un periodo breve de tiempo obtiene:
1/2
CUIDADO
Ud. puede obtener pulsando SHIFT 0
– se obtiene tecleando:
(–)
+ se obtiene tecleando:
(–)(–)
También puede encontrar en el menú Constant de la tecla MATH.
4.11.10 LIMIT y
Determinar el límite cuando tiende a más infinito de:
∫
−
+
+
−
a
dx
x
x
x
x
2
2
1
1
LN
1
Introduzca en el editor de ecuaciones:
∫
+∞
−
+
+
−
2
2
1
1
LN
1
dx
X
X
X
X
CUIDADO, + se obtiene tecleando:
(–)(–) (SHIFT 0)
Obtiene:
2
)3(7 LN⋅
−∞+
Y tras la simplificación:
+
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
82 Funciones de Cálculo Simbólico
4.11.11 PREVAL
PREVAL tiene tres parámetros: una expresión F(VX) que depende de la
variable contenida en VX y dos expresiones A y B.
PREVAL (F(X,A,B,) devuelve F(B)–F(A)
PREVAL se usa para calcular una integral definida a partir de una primitiva:
se evalúa esta primitiva desde los dos límites de la integral.
Teclee:
PREVAL (X
2
+ X, 2,3)
Obtiene:
12 – 6
4.11.12 RISCH
RISCH tiene dos parámetros: una expresión y un nombre de variable.
RISCH devuelve una primitiva del primer parámetro en relación a la variable
especificada en el ¶ segundo parámetro.
Teclee:
RISCH((2·X
2
+ 1)·EXP(X
2
+ 1),X)
Obtiene:
X·EXP(X
2
+ 1)
NOTA
:
Si el parámetro de RISCH es el AND de dos elementos, RISCH sólo actúa en
el segundo elemento de AND.
4.12 Desarrollos Limitados y Asintoticos
Todas las funciones de este apartado se encuentran en el menú DIFF de menú
principal.
Normalmente se escriben los desarrollos según la potencias crecientes de la
variable, en CFG, se hace la selección 1 + x + x
2
…
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 83
4.12.1 DIVPC
DIVPC tienen tres argumentos: dos polinomios A(X), B(X) (con B(0) 0) y
un número entero n.
DIVPC devuelve el cociente Q(X) de la división A(X) entre B(X) según las
potencias crecientes con deg (Q) n o Q = 0.
Q x es el desarrollo limitado de orden n del entorno de
[]
[]
XB
XA
de X = 0
Teclee:
DIVPC(1 + X
2
+ X
3
, 1 + X
2
,5)
Obtiene:
1 + X
3
– X
5
CUIDADO: La máquina le preguntará si quiere pasar a “potencias crecientes”,
conteste yes.
4.12.2 LIMIT
LIMIT tiene como argumento una expresión que depende de una variable y
una igualdad (variable = valor dónde se quiere calcular el límite).
A veces es preferible escribir la expresión entre comillas.
QUOTE (expresión) para evitar una reescritura de esta expresión bajo la forma
normal (para no tener una simplificación racional de los argumentos) antes de
la ejecución del comando LIMIT.
Por ejemplo introduzca:
+∞=
−
⋅− X
X
X ,
1
1
EXP)12(QUOTELIMIT
Obtiene:
+
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
84 Funciones de Cálculo Simbólico
4.12.3 SERIES
Desarrollo del entorno de x = a
Ejemplo:
Hacer un desarrollo limitado de orden 4 de
2
)2cos(
6
xdex ×=
π
Se utiliza el comando SERIES.
Teclee:
=⋅ 4,
6
,)2(COSSERIES
2
π
XX
Obtiene:
−++−
432
3
8
3
38
23
4
1
hhhh
6
π
−= Xh
Hacer el desarrollo para x = + o x = –
Ejemplo 1:
Hacer un desarrollo de la arctan(x) de orden 5. para x = + haciendo
x
h
1
=
suficientemente pequeño. Teclee:
SERIES(ATAN(X),X = + , 5)
Obtiene:
−+−
532
53
hh
h
π
X
h
1
=
Ejemplo 2:
Hacer un desarrollo de
1
1
)12(
−
−
x
ex de orden 2. para x = + haciendo
x
h
1
=
suficientemente pequeño, Teclee:
()
+∞=
−
⋅− 3,,
1
1
EXP12SERIES X
X
X
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 85
Obtiene:
)
6
17
22
(
3
2
h
h
hh +++
X
h
1
=
Ejemplo 3:
Hacer un desarrollo de
1
1
)12(
−
−
x
ex de orden 2. Para x = – haciendo
x
h
1−
=
suficientemente pequeño, Teclee:
()
−∞=
−
⋅− 3,,
1
1
EXP12SERIES X
X
X
Obtiene::
)
6
17
22
(
3
2
h
h
hh +−+−
X
h
1−
=
Desarrollo unidireccional
Para el orden debe usar un numero real positivo(véase ejemplo 4) para hacer
un desarrollo de x = a siendo x a y un número real negativo (véase ejemplo
–4) para hacer un desarrollo de x = a siendo x a:
Ejemplo 1:
Hacer un desarrollo de
3
1
)1(
X
X
X
+
de orden 2. para X = 0
+
Teclee:
)2,,
)1(
(SERIES
3
1
X
X
X
X
+
Obtiene:
⋅
⋅−⋅
−
3
2
2
h
ehe
|h = X
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
86 Funciones de Cálculo Simbólico
Ejemplo 2:
Hacer un desarrollo de
3
1
)1(
X
X
X
+
de orden 2. para X = 0
–
.
Teclee:
)2,,
)1(
(SERIES
3
1
−
+
X
X
X
X
Obtiene:
⋅
⋅−⋅
−
3
2
2
h
ehe
|h = X
Ejemplo 3:
Hacer un desarrollo de
3
1
)1(
X
X
X
+
de orden 2. para X = 0.
Teclee:
)2,,
)1(
(SERIES
3
1
X
X
X
X
+
Obtiene:
⋅
⋅−⋅
−
3
2
2
h
ehe
|h = X
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 87
4.12.4 TAYLOR
TAYLORO sólo tiene un argumento : la función de x para desarrollar y
devuelve su desarrollo limitado de orden relativo 4 para x = 0 ( si x es la
variable real).
Teclee:
⋅−⋅
⋅−⋅
)(SIN)(TAN
)(SIN)(TAN
TAYLORO
XQXQ
XPXP
Obtiene:
3
3
2
3
25
4 Q
P
X
Q
PQP
+⋅
⋅
⋅−
CUIDADO!! orden 4 quiere decir que se hace el desarrollo al orden relativo 4
tanto en el numerador como en el denominador (aquí orden absoluto 5 para el
numerador y el denominador lo que resulta un orden 2 (5-3) ya que el valor del
denominador es igual a 3).
4.12.5 TRUNC
TRUNC permite cambiar un polinomio de un orden dado (útil cuando se hacen
desarrollos limitados).
TRUNC tiene dos argumentos : un polinomio y X
n
.
TRUNC devuelve el polinomio cambiado de orden n – 1: no hay términos de
grado n
Teclee:
)432
,)
2
1
1(( XXXTRUNC ⋅++
Obtiene:
13
2
9
4
23
+⋅+⋅+⋅ XXX
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
88 Funciones de Cálculo Simbólico
4.13 Funciones de Sobreescritura
Todas las funciones de este apartado se encuentran en el menú REWRITE del
menú principal.
4.13.1 DISTRIB
DISTRIB permite aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación en
relación a la suma una vez.
DISTRIB cuando se aplica varias veces permite efectuar la propiedad
distributiva paso a paso.
Teclee:
DISTRIB ((X + 1)·(X + 2)·(X + 3))
Obtiene:
X·(X + 2)·(X + 3) + 1·(X + 2)·(X + 3)
4.13.2 EPSXO
EPSXO tiene como parámetro una expresión de X y la expresión donde los
valores más pequeños que EPS han sido sustituidos por cero.
Teclee:
EPSXO (0,001 + X)
Obtiene (con EPS = 0.01):
0 + X
Obtiene (con EPS = 0.0001):
,001 + X
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 89
4.13.3 EXP2POW
EXP2POW permite transformar una expresión con la forma exp (n x ln (x)) en
una potencia de x.
Teclee:
EXP2POW(EXP(N·LN(X)))
Obtiene:
X
N
Diferencia con LNCOLLECT:
Tiene:
LNCOLLECT(EXP(N·LN(X)) = EXP (N·LN(X))
LNCOLLECT(EXP(LN(X)/3)) = EXP(LN(X)/3)
EXP2POW(EXP(LN(X)/3)) = X
1/3
4.13.4 EXPLN
EXPLN tiene como argumento una expresión trigonométrica.
EXPLN transforma las funciones trigonométricas en exponenciales y
logarítmicas sin ser lineales.
EXPLN nos pasa al modo complejo:
Teclee:
EXPLN (SIN(X))
Obtiene:
i
Xi
i
Xi
⋅
⋅
−⋅
2
)(EXP
)(EXP
4.13.5 FDISTRIB
FDISTRIB permite realizar la propiedad distributiva de la multiplicación en
relación a la suma en una vez
Teclee:
FDISTRIB ((X + 1)·(X + 2)·(X + 3))
Obtiene:
X
3
+ 6·X
2
+ 11·X + 6
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
90 Funciones de Cálculo Simbólico
4.13.6 LIN
LIN tiene como argumento una expresión que contiene exponenciales y
funciones trigonométricas.
LIN convierte en lineal esta expresión (la expresa en función de exp(nx)).
LIN pasa al mode complexe cuando hay funciones trigonométricas.
Ejemplo1:
Teclee:
LIN ((SIN(X))
Obtiene:
))((EXP
2
))(EXP
2
( Xi
i
Xi
i
⋅−⋅+⋅⋅−
Ejemplo 2:
Teclee:
LIN((COS(X)
2
)
Obtiene:
))2((EXP
4
1
2
1
))2(EXP
4
1
( XiXi ⋅⋅−⋅++⋅⋅⋅−
Ejemplo 3:
Teclee:
LIN((EXP(X) + 1)
3
)
Obtiene:
3·EXP(X) + 1 + 3·EXP(2·X) + EXP3·X)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 91
4.13.7 LNCOLLECT
LNCOLLECT tiene como argumento una expresión de logaritmos.
LNCOLLECT reagrupa los términos en logaritmos. Por eso es preferible
usarlo en una función descompuesta en factores (usando FACTOR).
Teclee:
LNCOLLECT (LN(X + 1) + LN(X – 1)
Obtiene:
LN((X + 1)(X – 1))
4.13.8 POWEXPAND
POWEXPAND escribe una potencia en forma de productos.
Teclee:
POWEXPAND ((X + 1)
3
)
Obtiene:
(X + 1)·(X + 1)·(X + 1)
Esto nos permite desarrollar (X + 1)
3
paso a paso, aplicando varias veces
DISTRIB al resultado anterior.
4.13.9 SIMPLIFY
SIMPLIFY simplifica la expresión de manera automática.
Como en toda simplificación automática no se pueden esperar milagros, sin
embargo…
Teclee:
)
)5(SIN
)7(SIN)3(SIN
(SIMPLIFY
X
XX
⋅
⋅+⋅
Desde la simplificación obtendrá:
4 COS(X)
2
– 2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
92 Funciones de Cálculo Simbólico
4.13.10 XNUM
XNUM tiene como parámetro una expresión.
XNUM nos pasa al modo aproximado y devuelve el valor numérico de la
expresión.
Teclee:
)2(XNUM
Obtiene:
1,41421356237
4.13.11 XQ
XQ tiene como parámetro una expresión numérica real.
XQ nos pasa al modo exacto y nos da una expresión racional o real de la
expresión:
Teclee:
XQ(1.41422)
Obtiene:
46981
66441
Teclee:
XQ(1.414213562)
Obtiene:
2
4.14 Ecuaciones
Todas las funciones de este apartado se encuentran en el menú SOLV del menú
principal.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 93
4.14.1 ISOLATE
ISOLATE aisla una variable en una expresión o en una ecuación
ISOLATE tiene dos parámetros una expresión o una ecuación y el nombre de
la variable que queremos aislar.
CUIDADO: ISOLATE sólo nos devuelve una solución.
Teclee:
ISOLATE(X
4
– 1 = 3,X)
Obtiene:
(X =
2 )
4.14.2 SOLVEVX
SOLVEVX tiene como parámetro una ecuación entre dos expresiones de la
variable contenida en VX o en una expresión (se sobreentiende que es = 0)
SOLVEVX resuelve la ecuación.
Ejemplo1:
SOLVEVX(X
4
– 1 = 3)
Obtiene en modo real:
(X = –
2 ) OR (X = 2 )
Obtiene en modo complejo:
(X = –
2 ) OR (X = 2 ) OR ( X = – i· 2 ) OR (X = i 2 )
Ejemplo 2:
Obtiene:
SOLVEVX ((X – 2)·SIN(X))
Obtiene en modo real:
)2(OR)2(OR)2(
11
=⋅⋅=⋅⋅−= XnXnX
π
π
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
94 Funciones de Cálculo Simbólico
4.14.3 SOLVE
SOLVE tiene como argumentos una ecuación entre dos expresiones o una
expresión (se sobreentiende = 0) y el nombre de la variable.
SOLVE resuelve la ecuación.
Teclee:
SOLVE(X
4
– 1 = 3,X)
Obtiene en modo real:
(X = –
2 ) OR (X = 2 )
En modo complejo se obtiene:
(X = –
2 ) OR (X = 2 ) OR (X = –i· 2 ) OR (X = i· 2 )
4.15 Sistemas Lineales
Todas las funciones de este apartado se encuentran en el menú SOLV del menú
principal.
4.15.1 LINSOLVE
LINSOLVE permite resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Se supone que las ecuaciones están escritas con formato:
Expression = 0
LINSOLVE tiene dos argumentos:
Los primeros miembros de las diferentes ecuaciones separados por AND y los
nombres de las variables separados por AND.
Ejemplo1:
Teclee:
LINSOLVE (X + Y + 3 AND X –Y + 1, X AND Y)
Obtiene:
(X = –2) AND (Y = –1)
Si está Ud. en el modo paso a paso (CFG etc…):
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 95
L2 = L2 – L1
…
− 111
311
ENTER
L1 = 2L1 – L2
…
−− 220
311
ENTER
Reduction Result
…
−− 220
402
ENTER
En el editor aparece:
(X = –2) AND (Y = –1)
Ejemplo 2:
Teclee:
(2·X + Y + Z = 1 AND X + Y + 2·Z = 1 AND X + 2·Y + Z = 4
Tiene que utilizar LINSOLVE
Introducir las incógnitas:
X AND Y AND Z
Y pulsar ENTER
Si está en modo paso a paso (CFG etc…):
L2 = 2L2 – L1
…
−
−
−
4121
1211
1112
pulse a continuación OK.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
96 Funciones de Cálculo Simbólico
L3 = 2L3 – L1
…
−
−
−
4121
1310
1112
etc…hasta el final
Reduction Result
…
−
−
4800
20080
4008
Pulse ENTER y
)
2
1
(AND)
2
5
()
2
1
( −==−= ZYANDX
Aparece en el editor.
4.16 Las Ecuaciones Diferenciales
Todas las funciones de este apartado están en el menú SOLVE del menú
principal.
4.16.1 DESOLVE Y SUBST
DESOLVE permite resolver otras ecuaciones diferenciales.
Los parámetros son: la ecuación diferencia(donde y'se escribe d1Y(X) y la
incognitaY(X).
Ejemplo 1:
Resolver:
10
)0()0()cos( cycyxyy
′
==+
′′
Teclee:
DESOLVE(d
1
d
1
Y(X) + Y(X) = COS(X),Y(X))
Obtiene:
)(SIN
2
12
)(0)( X
CX
XCOScCXY ⋅
⋅+
+⋅=
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 97
cC0 Y cC1 son las constantes de integración(y(0) = cC(0) y'(0) = cC1).
Se puede dar un valor a las constantes utilizando el comando SUBST y si
queremos las soluciones verificando y(0) = 1, escribimos:
10),(SIN
2
12
)(0)((SUBST =⋅
⋅+
+⋅= CX
CX
XCOScCXY
Obtiene:
2
)(SIN)12()(COS2
)(
XcCXX
XY
⋅⋅++⋅
=
Ejemplo 2:
Resolver:
1
)0(1)0()cos( cyyxyy
′
==+
′′
Para obtener las soluciones que verifiquen y(0) = 1, se puede escribir
directamente:
DESOLVE( d
1
d
1
Y(X) + Y(X) = COS(X),Y(0) = 1 ,Y(X)
Aparece entonces:
)(SIN
2
12
)(COS)( X
CX
XXY ⋅
⋅+
+=
4.16.2 LDEC
LDEC permite resolver directamente las ecuaciones lineales con coeficientes
constantes.
Los parámetros son el segundo miembro y la ecuación característica.
Resolver:
x
exyyy
⋅
⋅=⋅+
′
⋅−
′′
3
96
Teclee:
LDEC(X·EXP(3·X),X
2
– 6·X + 9)
Obtiene:
)3(EXP)0)103(
6
(
3
XcCXcCcC
X
⋅⋅+⋅−⋅−
cCo y cC1 son las constantes de integración (y(0) = cC0 y'(0) = cC1).
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
98 Funciones de Cálculo Simbólico
4.17 Expresiones Trigonometricas
Todas las funciones de este apartado están en e TRIG del menú principal.
4.17.1 ACOS2S
ACOS2S tiene como argumento una expresión trigonométrica.
ACOS2S transforma esa expresión sustituyendo:
Teclee:
Arcos(x) para
2
π
– arcsin(x).
Teclee:
ACOS2S(ACOS(X) + ASIN(X))
Obtiene:
2
π
4.17.2 ASIN2C
ASIN2C tiene como argumento una expresión trigonométrica.
ASIN2C transforma esa expresión sustituyendo:
arcsin(x) para
2
π
– arcos(x).
Teclee:
ASIN2C(ACOS(X) + ASIN(X))
Obtiene:
2
π
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 99
4.17.3 ASIN2T
ASIN2T tiene como argumento una expresión trigonométrica.
ASIN2T transforma esa expresión sustituyendo:
arscin(x) para
)
1
arctan(
2
x
x
+
Teclee:
ASIN2T(ASIN(X))
Obtiene:
2
π
4.17.4 ATAN2S
ATAN2S tiene como argumento una expresión trigonométrica.
ATAN2S transforma esa expresión sustituyendo:
arctan(x) por
)
1
arcsin(
2
x
x
+
Teclee:
ATAN2S(ATAN(X))
Obtiene:
)
1
(ASIN
2
X
X
+
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
100 Funciones de Cálculo Simbólico
4.17.5 HALFTAN
HALFTAN tiene como argumento una expresión trigonométrica.
HALFTAN transforma sin(x) cos(x) y tan(x), en una expresión en función
de
)
2
(tan
x
Teclee:
)
)2(COS1
)2(SIN
(HALFTAN
X
X
⋅+
⋅
Después de la simplificación:
TAN (X)
Teclee:
HALFTAN(SIN(X)
2
+ COS(X)
2
)
Obtiene: (SQ(X) = X
2
):
22
1))
2
(TAN(SQ
))
2
(TAN(SQ1
1))
2
(SQ(TAN
)
2
(TAN2
+
−
+
+
⋅
X
X
X
X
Después de la simplificación obtendrá:
1
4.17.6 SINCOS
SINCOS tiene como argumento una expresión con exponenciales complejos.
SINCOS transforma esa expresión en función de sin(x) y de cos(x).
Teclee:
SINCOS(EXP(I·X))
Obtiene:
COS(X) + i·SIN(X)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 101
4.17.7 TAN2CS2
TAN2CS2 tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TAN2CS2 transforma esa expresión sustituyendo:
tan(x) por
)2sin(
)2cos(1
x
x
⋅
⋅−
Teclee:
TAN2SC2(TAN(X))
Obtiene:
)2(SIN
)2(COS1
X
X
⋅
⋅−
4.17.8 TAN2SC
TAN2SC tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TAN2SC transforma esa expresión sustituyendo:
tan(x) por
)cos(
)sin(
x
x
Teclee:
TAN2SC(TAN(X))
Obtiene:
)(COS
)(SIN
x
x
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
102 Funciones de Cálculo Simbólico
4.17.9 TAN2SC2
TAN2SC2 tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TAN2SC2 transforma esa expresión sustituyendo:
tan(x) por
)2cos(1
)2sin(
x
x
⋅+
⋅
Teclee:
TAN2SC2(TAN(X))
Obtiene:
)2(COS1
)2(SIN
X
X
⋅+
⋅
4.17.10 TCOLLECT
TCOLLECT tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TCOLLET transforma en lineal una expresión en función de sin(n·x) y
cos(n·x) y agrupa en modo real los senos y los cosenos del mismo ángulo.
Teclee:
TCOLLECT(SIN(X) + COS(X))
Obtiene:
)
4
(COS2
π
−⋅ X
4.17.11 TEXPAND
TEXPAND tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TEXPAND desarrolla esa expresión en función de sin(x) y cos(x).
Ejemplo 1:
Teclee:
TEXPAND(COS(X + Y))
Obtiene:
COS(Y)·COS(X) – SIN(Y)·SIN(X)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 103
Ejemplo 2:
Teclee:
TEXPAND(COS(3·X))
Obtiene:
4·COS(X)
3
– 3·COS(X)
Ejemplo 3:
Teclee:
)5(SIN
)7(SIN)3(SIN
(TEXPAND
X
XX
⋅
⋅+⋅
Después de una simplificación (ENTER) obtendrá:
4·COS(X)
2
– 2
4.17.12 TLIN
TLIN tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TLIN transforma en lineal esa expresión en función d sin(n·x) y cos(n·x)
Ejemplo 1:
Teclee:
TLIN(COS(X)·COS(Y))Obtiene:
)(COS
2
1
)(COS
2
1
YXYX +⋅+−⋅
Ejemplo 2:
Teclee:
TLIN(COS(X)
3
)
Obtiene:
)(COS
4
3
)3(COS
4
1
XX ⋅+⋅⋅
Ejemplo 3:
Teclee:
TLIN(4·COS(X)
2
– 2
Obtiene:
2·COS(2·X)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
104 Funciones de Cálculo Simbólico
4.17.13 TRIG
TRIG tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TRIG simplifica esa expresión con la ayuda de sin(x)
2
+ cos(x)
2
= 1
Teclee:
TRIGCOS(SIN(X)
4
+ COS(X)
2
+ 1)
Obtiene:
2
4.17.14 TRIGCOS
TRIGCOS tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TRIGCOS simplifica esa expresión favoreciendo los cosenos con la ayuda de
sin(x)
2
+ cos (x)
2
= 1
Teclee:
TRIGCOS(SIN(X)
4
+ COS(X)
2
+ 1)
Obtiene:
COS(X)
4
– COS(X)
2
+ 2
4.17.15 TRIGSIN
TRIGSIN tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TRIGSIN simplifica una expresión favoreciendo los senos con la ayuda de
sin(x)
2
+ cos(x)
2
= 1.
Teclee:
TRIGCOS(SIN(X)
4
+ COS(X)
2
+ 1)
Obtiene:
COS(X)
4
– COS(X)
2
+ 2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Funciones de Cálculo Simbólico 105
4.17.16 TRIGTAN
TRIGTAN tiene como argumento una expresión trigonométrica.
TRIGTAN simplifica una expresión favoreciendo las tangentes con la ayuda de
sin(x)
2
+ cos(x)
2
= 1.
Teclee:
TRIGTAN(SIN(X)
4
+ COS (X)
2
+ 1)
Obtiene:
1)(TAN2)(TAN
2)(TAN3)(TAN2
24
24
+⋅+
+⋅+⋅
XX
XX
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 107
5 Ejercicios Realizados con la
HP 40
5.1 Introduccion
Para comenzar selecciones CAS:
Pulsando F6 para CAS del menú principal.
Los comando usados en este capítulo están:
ALGB (CFG DEF FACTOR SUBST TEXPAND)
DIFF (DERIVX DERIV INTVX INT LIMIT TABVAR)
REWRITE (DISTRIB LIN POWEXPAND XNUM)
SOLV (LINSOLV)
y en el menú de la tecla MATH:
Complex (DROITE RE IM),
Integer (IEGCD ISPRIME? PROPFRAC).
La calculadora tiene que estar en modo algebraico real exacto: para ello pulse
ALG del menú principal y marque CFG, a continuación OK del menú.
A continuación tiene que elegir Default CFG y pulsar OK, también puede Ud.
si lo prefiere elegir el modo Direct o el modo paso a paso(Step/Step), quitar
ese menú de configuración con ENTER. ¡¡¡seguro que se nos olvidará, es
necesario recordárselo!!!
En este apartado encontrará diferentes pruebas de matemáticas de selectividad
y ejercicios para bachillerato.
Hemos intentado implementar el mayor número de cosas en la HP 40G…aún
así el alumno es el que debe justificar los cálculos y conocer las razonamientos
a seguir cuando tenga el modo paso a paso activo…
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
108 Ejercicios Realizados con la HP 40
5.2 Ejercicios para Bachillerato
5.2.1 EJERCICIO 1
A es igual a:
1
2
1
1
2
3
+
−
Aparecerá cada paso del cálculo y obtendrá el resultado de A que es una
fracción irreductible.
Introduzca en el editor de ecuaciones el valor de A:
3 ÷ 2
>
– 1
>
>
÷ 1 ÷ 2
>
+ 1
>
Seleccione el denominador.
ENTER efectúa la simplificación del denominador, Obtiene:
2
3
1
2
3
−
Seleccione el numerador con
<
.
ENTER simplifica el numerador, obtiene:
2
3
2
1
selecciona toda la fracción y ENTER la simplifica, obtiene:
3
1
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 109
5.2.2 EJERCICIO 2
Consideramos C igual:
36203452 −+=C
Escriba C del modo
d
5 , siendo d un número entero.
Introduzca el valor de C en el editor de ecuaciones:
452 >> 123 >> 20− >> 36−
>>>
seleccione
36− y
<
seleccione
20−
seleccione 20
Llame el comando FACTOR que se encuentra en el menú ALGB, pulse
ENTER para descomponer 20 en
2
2
·5,
seleccione
53
2
⋅ y ENTER devuelve
2
5
>
seleccione
2
5−
SHIFT
<
intercambia
3
12 y
2
5−
<
seleccione
2
45
seleccione 45
llame el comando FACTOR situado en el menú ALGB pulse ENTER para
descomponer 45 en 3
2
·5
seleccione
53
2
⋅ y ENTER sustituye 53
2
⋅ por 53⋅
seleccione
3
52⋅
SHIFT
>
seleccione
3
52⋅ y –
2
5− y ENTER efectúa la operación
Obtiene:
4
5
queda por transformar
3
12 y ver que simplifica con
6
3−
Finalmente:
4
5=C
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
110 Ejercicios Realizados con la HP 40
5.2.3 EJERCICIO 3
Consideramos D = (3x – 1)
2
– 81
1. Desarrollar y reducir D
2. Descomponer D
3. Resolver la ecuación: (3x – 10)(3x + 8) = 0
4. Calcular D para x = –5
1. Escriba D en el editor de ecuaciones:
Teclee:
3X – 1
>>
x
y
2
>
–81
Seleccione (3X –1)
2
(
> <
) y ENTER desarrollará esta expresión. Obtiene:
9x
2
– 6x + 1 – 81
Para activar el paso a paso aplique:
POWEXPAND (3X – 1)
2
y aplique DISTRIB al resultado para obtener:
9X
2
– 6X + 1
selecciona toda las expresión y ENTER reduce a :
9X
2
– 6X – 80
2. Hay que buscar D en la historia (tecla HOME) se selecciona D y se valida
con ENTER.
Llame a la función FACTOR y obtiene:
(3x + 8)(3x – 10)
También podríamos haber seleccionado 81 para descomponerlo en 34 y
reconocer la diferencia de dos cuadrados.
3. Llame el comando SOLVEX y ENTER devuelve:
3
10
XOR
3
8
X =−=
4. Busque D en el historial (tecla
HOME
) selecciónelo y valide con ENTER.
Llame la función SUBST, complete el segundo argumento:
X = –5 y
>>>
para seleccionar todo y ENTER.
Obtiene:
(3·(–5) –1)
2
– 81 y ENTER le dará el resultado: 175
D = 175
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 111
5.2.4 EJERCICIO 4
Un pastelero prepara dos tipos de cajas surtidas con barquillos y con pastas.
En una de las cajas coloca 17 pastas y 20 barquillos.
En la segunda caja coloca 10 pastas y 25 barquillos.
Estas cajas se venden por 90F.
Calcular el precio de una pasta y de un barquillo
Llamamos x al precio de una pasta y un barquillo
=+
=+
902010
902017
yx
yx
Introduzca en el editor de ecuaciones:
LINSOLVE (17·X + 20·Y – 90 AND 10·X + 25·Y – 90· X AND Y)
con el modo paso a paso obtiene:
−
−
−
−
−=
−
−
−=
6302250
900765
:ResultReduction
6302250
902017
445
902510
902017
1017
211
122
LLL
LLL
y ENTER le da el resultado:
)
5
14
(AND)2( == YX
seleccione
5
14
, pulse NUM o llame a la función XNUM y obtendrá:
(x = 2) AND (y = 2.8)
¡CUIDADO! Ud. ha pasado a modo Approx, vuelva al modo Exact con CFG.
El precio de una pasta es de 2 francos y el del barquillo de 2.80 francos.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
112 Ejercicios Realizados con la HP 40
5.2.5 EJERCICIO 5
El plano con un sistema de coordenadas ortonormal (O,i,j) y la unidad de
longitud es el centímetro. Llamamos A Y B a los puntos cuyas coordenadas
son:
A(–1;3) y B (–3; –1)
1. Calcular A y B introduciendo su valor exacto en centímetros
2. Determinar la ecuación droite AB.
Primer método:
Teclee:
STORE ((–1,3), QUOTE (A))
STORE ((–3,–1), QUOTE (B))
El vector
→
AB tiene como coordenadas B –A.
1. Teclee:
ABS (B – A)
Obtiene:
52
2. Teclee:
DROITE (A,B)
Obtiene:
Y = 2·x + 5
o segundo método:
1. Teclee directamente:
(–3,–1) – ( –1,3)
Obtiene:
–2 –4·i
Teclee:
ABS (–2 –4·i)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 113
Obtiene:
52
2. Teclee:
DROITE ((–1,3),(–3,–1))
Obtiene:
y = 2·(x – –1) + 3
y ENTER le dará:
y = 2·x + 5
5.3 Ejercicios DE selectividad
5.3.1 EJERCICIO 1
El objetivo de este ejercicio es trazar una curva descrita por M cuyos afijos
zz −⋅
2
2
1
cuando m de afijo z describe el círculo C de centro O y de radio 1.
Sea t un número real de (-p,
\PHOSXQWRGH&DILMRz = e
i·t
.
1. Calcule las coordenadas de M:
Primero se introduce la expresión:
zz −⋅
2
2
1
en el editor de ecuaciones.
Teclee en el editor de ecuaciones:
>>>> ZalphaxZalpha
y
−÷22
La expresión Z
Z
−
2
2
es seleccionada.
Como z = e
i·t
se llama a la función SUBST y se completa el segundo
argumento:
))(EXP,
2
(SUBST
2
tiZZ
Z
×=−
La solución:
)(EX
2
)(EXP
2
tiP
ti
⋅−
⋅
Convertimos la función a lineal llamando LIN
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
114 Ejercicios Realizados con la HP 40
La solución es:
)(EX1)2(EXP
2
1
tiPti ⋅⋅−+⋅⋅⋅
a continuación llamamos a STORE:
))(QUOTE),(EX1)2(EX
2
1
(STORE MtiPtiP ⋅⋅−+⋅⋅⋅
ENTER
Se busca la parte real de esa expresión con :
RE
La solución es:
2
)(CO2)2(COS tSt ⋅−⋅
Se define la función x(t) con DEF:
CUIDADO hay que escribir X(T) y cambiar X(T) y la expresión
2
)(COS2)2(COS tt ⋅−⋅
seleccionando X (t) con
>
y a continuación se pulsa SHIFT
<
para hacer el cambio.
Obtiene:
)
2
)(COS2)2(CO
)((DEF
ttS
tX
⋅−⋅
=
ENTER
Para buscar la parte imaginaria pruebe con:
IM(M)
La solución es:
2
)(SI2)2(SIN tNt ⋅−⋅
Defina la función y(t) (de la misma manera que x(t)):
)
2
)(SIN2)2(SIN
)((DEF
tt
tY
⋅−⋅
=
ENTER
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 115
2. Busque un eje de simetría de , para ello calcule x(–t) und y(–t) tecleando:
X(–t) ENTER
La solución es:
2
)(CO2)2(COS tSt ⋅−⋅
tenemos: x(–t) = x(t)
y:
Y(–t) ENTER
La solución es:
4
)))(SIN(2)2(SIN2(2 tt −⋅−⋅⋅−⋅
Tenemos: y(–t) = –y(t)
Si
))(),((
1
tytxM esta sobre T, ))(),((
1
tytxM −− está también sobre .
M
1
y M
2
son simétricos respecto a O
x
por lo tanto deducimos que el eje O
x
es
un eje de simetría de .
3. Cálculo de x'(t)
Teclee:
DERIV(X(t),t)
La solución es:
4
)))(SIN(2)2(SIN2(2 tt −⋅−⋅⋅−⋅
Después de la simplificación (ENTER).
–(SIN(t·2) – SIN(t))
Desarrollamos la expresión (transformación de SIN(2·t)), y llamamos la
función TEXPAND y obtenemos:
TEXPAND(–(SIN(t·2) – SIN(t)))
ENTER
La solución es:
–(SIN(t)·2·COS (t) – SIN(t))
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
116 Ejercicios Realizados con la HP 40
Con FACTOR, se descompone y obtenemos:
FACTOR(–(SIN(t)·2·COS (t) – SIN(t)))
ENTER
La solución es:
–SIN(t)·(2·COS(t) – 1)
Podemos definir la función x'(t) llamando a DEF.
Es necesario escribir = X1 (t) y,
Cambiar X1(t)(
>
) y pulsar SHIFT
<
para hacer el cambio.
Obtiene:
DEF(X1(t) = –SIN (t)·(2·COS (t) – 1))
ENTER
4. Cálculo de y'(t)
Teclee:
DERIV(Y(t), t)
La solución es:
4
)(CO2))2(COS2(2 tSt ⋅−⋅⋅⋅
Después de la simplificación ENTER:
COS(t·2) – COS(t)
Desarrollamos la expresión (transformación de COS (2·t)), usamos
TEXPAND:
TEXPAND (COS (t·2) – COS(t))
ENTER
La solución es:
2 COS (t)
2
– 1 – COS (t))
Se descompone:
FACTOR(2·COS (t)
2
– 1 – COS (t)))
ENTER
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 117
La solución es:
(COS (t) – 1)·(2·COS (t) + 1)
Ahora podemos definir la función y'(t), escribimos (igual que para x'(t):
DEF(Y1(t) = (COS(t) – 1)(2·COS (t) + 1))
5. Variaciones de x(t) y de y(t)
Hay que trazar en el mismo gráfico x(t) e y(t).
Introducimos t como variable VX (teclas SHIFT SYMB (SETUP)), escribimos
en el editor de ecuaciones X(t) y pulsamos ENTER y a continuación PLOT.
Seleccionamos Function en el cuadro de diálogos y F1 como destino.
Hacemos lo mismo con Y(t) pero eligiendo F2 como destino.
Quitamos CAS con la tecla
ON
(
CANCEL
) para hacer el gráfico de las
funciones copiadas de esta manera, hay que colocarse en Aplet Function y se
marca F1 y F2.
Hay que regular los parámetros de la ventana (SHIFT PLOT) para obtener el
gráfico.
6. Trazado de la curva :
Valores de x (t) y de y (t)
Obtenemos los valores de de x (t) y de y (t) para
π
π
π
,
3
2
,
3
,0
⋅
=t
Tecleando sucesivamente:
X(0) ENTER
La solución:
2
1−
X(
3
π
) ENTER
La solución:
4
3−
X(
3
2
π
× ) ENTER
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
118 Ejercicios Realizados con la HP 40
La solución:
4
1
X(
π
)ENTER
La solución:
2
3
Y(0) ENTER
La solución: 0
Y(
3
π
) ENTER
La solución:
4/3−
Y(
3
2
π
× ) ENTER
La solución:
4/33⋅−
X(
π
)ENTER
La solución: 0
Pendientes de las tangentes
)
)(
)(
(
tx
ty
m
′
′
=
Obtenemos los valores de
)(
)(
tx
ty
′
′
para
π
π
π
,
3
2
,
3
,0
⋅
=t
tecleando sucesivamente:
ENTER)0,
)(1
)(1
(LIMIT =t
tX
tY
La solución: 0
ENTER)3,
)(1
)(1
(LIMIT ÷=
π
t
tX
tY
La solución: 8
ENTER)32,
)(1
)(1
(LIMIT ÷×=
π
t
tX
tY
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 119
La solución: 0
ENTER),
)(1
)(1
(LIMIT
π
=t
tX
tY
La solución:
Las variaciones de x(t) y de y(t)
π
2
π
33
-1 -3 1 3
24 4 2
3-3 3
44
y
’(t)
m
y
(t)
x
(t)
t
x
’(t )
0
?+
π
+0
0
_
_
0
0
0
0
_
+
0
?
0
0
?
∞ ∞
Curva :
Hacemos el trazado paramétrica.
Introduzca X(t) + i Y (t) en el editor de ecuaciones y pulse ENTER.
Teclee:
PLOT y selecciones Parametric en el cuadro de diálogo y X1, Y1 como
destino. Salga de CAS con la tecla
ON
(
CANCEL
),para realizar el gráfico de
la curva se lanza: Aplet Parametric.
5.3.2 EJERCICIO 2 (de especialidad)
Se define para n, número entero natural:
1102,1102,1104 +×=−×=−×=
n
n
n
n
n
n
cba
Teclee:
)1102)((DEF
)1102)((DEF
)1104)((DEF
n
n
n
+⋅=
−⋅=
−⋅=
NC
NB
NA
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
120 Ejercicios Realizados con la HP 40
a) Cálculo de
333222111
,,,,,,,, cbacbacba :
Basta con teclear:
A (1) La solución: 39
B (1) La solución: 19
C (1) La solución: 21
A (2) La solución:399
B(2) La solución: 199
C(2) La solución: 201
A(3) La solución: 3999
B(3) La solución: 1999
C(3) La solución: 2001
b) número de cifras y divisibilidad.
Aquí la calculadora sólo hace pruebas para diferentes valores de n…
Sabemos que los números enteros n verifican:
1nn
1010
+
<≤ n
Tienen (n + 1) cifras en la escritura decimal.
Tenemos:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
b
a
103102
10210
104103
⋅<<⋅
⋅<<
⋅<<⋅
Donde a
n
, b
n
, c
n
, tienen (n + 1) cifras de la escritura decimal.
Además d
n
= 10
n–1
es divisible por 9, ya que su escritura decimal solo
consta de 9.
Tenemos
a
n
= 3·10
n
+ d
n
y
c
n
= 3·10
n
– d
n
Por lo tanto an y cn son divisibles por 3.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 121
c) b3 es un número primo.
Teclee:
ISPRIME?(B(3))
Obtiene:
1
que quiere decir verdadero
Para demostrar que b3 = 1999 es primo hay que probar que 1999 es
divisible por todos los números primos inferiores a iguales a
1999 .
Como1999 < 2025 = 45
2
comprobamos la divisibilidad de 1999 con
n = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41.
1999 no es divisible por ninguno de esos números por lo que podemos
decir que es primo.
d)
nnn
cba ×=
Teclee:
B(N)·C(N)
Obtiene:
1)10(4
2
−⋅
N
que es el valor de an
Descomposición en factores primos de a6
Teclee:
FACTOR (A(6))
Obtiene:
3·23·29·1999
e) b
n
y c
n
son primos entre sí
Aquí la calculadora solo hace pruebas para los diferentes valores de n …
Para demostrar que b
n
y c
n
son primos entre si hay que señalar que:
2+=
nn
bc
Los divisores comunes a b
n
y cn son los divisores comunes a b
n
y 2.
También son los divisores comunes a 2.b
n
y c
n
y 2 son primos entre si
porque bn es un número primo diferente a 2. por lo tanto.
1)2,()2,(),( ===
nnnn
bPGCDcPGCDbcPGCD
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
122 Ejercicios Realizados con la HP 40
2. Considerando la siguiente ecuación:
1
33
=⋅+⋅ ycxb
a) Como se trata de la identidad de Bézout, hay como mínimo una solución.
El teorema de Bézout dice:
Si a y b son primos entre si, x e y verifican:
a· x + b · y = 1
Por lo tanto la ecuación:
1
33
=⋅+⋅ ycxb
tiene como mínimo una solución.
b) Teclee:
IEGCD (B(3), C(3))
Obtiene:
1000 AND –9999 = 1
Tenemos:
1)999(1000
33
=−×+× cb
Tenemos por lo tanto una solución particular:
x = 1000, y = –999
A mano escriba:
2
33
+= bc y 12999
3
+×=b
1)(999
233
+−×= bcb
1)999(1000
33
=−×+× cb
c) Aquí, la calculadora no puede encontrar la solución general.
Tenemos:
1
33
=⋅+⋅ ycxb
y
1)999(1000
33
=−×+× cb
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 123
Por sustracción tenemos:
0)999()1000(
33
=+⋅+−⋅ ycxb
Obtenemos.
0)999()1000(
33
=+⋅+−⋅ ycxb
Según el Teorema de Gauss: c3 es primo con b3, por lo tanto c3 es primo
con b3 por lo tanto c3 divide (x –1000).
([LVWHN
=WDOTXH
3
)1000( ckx ×=−
y
3
)999( bky ×=+−
Recíprocamente,
3
1000 ckx ×+=
y
3
999 bky ×−−= para Zk ∈
Tenemos:
1)999(1000
3333
=−×+×=⋅+⋅ cbycxb
La solución general para todo k =HV
3
1000 ckx ×+=
3
999 bky ×−−=
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
124 Ejercicios Realizados con la HP 40
5.3.3 EJERCICIO 2 (No es de la Especialidad)
Antes de empezar cerciórese que está Ud. en modo real exacto, siendo x la
variable real, si no es el caso seleccione Default cfg de CFG.
Consideramos la sucesión
∫
+
+
=
2
0
2
32
dxe
x
x
u
n
x
n
1. variación de:
2
32
)(
+
+
=
x
x
xg
Para
[]
2,0∈x
Teclee:
)
2
32
)((DEF
+
+
=
X
X
XG
y:
TABVAR (G(X))
Obtiene:
F
X
22
2
↑∞↑
+∞+−+−∞
La primera línea nos da el signo de g'(x) según x, y la segunda línea las
variaciones de g(x). Cabe destacar que para TABVAR la función se llama
siempre F.
De ello se deduce que g(x) es creciente en (0,2)
Si está Ud. en modo paso a paso (para ello tiene que validar STEP/STEP con
el OK del menú principal de CFG) obtendrá entonces (aunque esta función
siempre se llamará F):
2
32
:
+
+⋅
=
X
X
F
y ENTER
)2(
)32()3(2
:
+
+⋅−+⋅
=
′
XSQ
XX
F
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 125
Usando la flecha para mover la pantalla
2
)2(
1
+
→
X
Pulse ENTER para obtener el cuadro de variaciones.
Si no está en modo paso a paso también puede introducir el cálculo de la
derivada introduciendo:
DERVX (G(X))
Obtendrá el cálculo anterior.
Calcule g(0) y g(2), para ello introduzca:
G(0)
La solución:
2
3
G(2)
La solución:
4
7
[]
2,0
4
7
)(
2
3
∈≤≤ xparaxg
2. en este caso la calculadora no puede hacer nada…hay que especificar que
e
x/n
SDUD[ 0,2
SDUDGHPRVWUDUTXHSDUD[
0,2 para obtener la desigualdad:
n
x
n
x
n
x
eexge
4
7
)(
2
3
≤≤
c/ integre la desigualdad anterior, introduzca:
dXe
N
X
∫
2
0
Obtiene:
NeN
N
−⋅
2
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
126 Ejercicios Realizados con la HP 40
Deducimos:
Para justificar el cálculo anterior hay que especificar que una primitiva de ex/n
es n·ex/n
Si no lo sabe puede introducir
))(EXP(INTVX
N
X
La solución es: )(
2
nne
n
−
3. Límite de )(
2
nne
n
− cuando n tiende +∞→n
),)
2
(EXP(LIMIT +∞=−⋅ NN
N
N
Obtiene:
2
CUIDADO:
Ahora la variable VX es igual a N, use las teclas SHIFT SYMB (SETUP) para
colocar VX en X.
Para justificar este resultado, tiene que saber:
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
y entonces:
1
2
1
lim
2
=
−
+∞→
n
e
n
x
Obtiene:
2)1(lim
2
=⋅−
+∞→
ne
n
x
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Ejercicios Realizados con la HP 40 127
Si L existe, haciendo que n tienda a +8 en las desigualdades de 1b/ se obtiene:
2
4
7
2
2
3
⋅≤≤⋅ L
a)
2
1
2)(
+
−=
x
xg
y calcular
∫
=
2
0
)( dxxgI
Teclee:
PROPFRAC (G(X))
Obtiene:
2
1
2
+
−
x
para calcular la integral de I introduzca:
∫
2
0
)( dXXG
Obtiene:
–(LN(2) – 4)
A mano, tenemos 2x + 3 = 2(x + 2) –1 por lo tanto
2
1
2)(
+
−=
x
xg
Se integra término a término entre 0 y 2,Obtiene:
[]
2
0
2
0
)2ln(2)(
=
=
+−=
∫
x
x
xxdxxg
ya que ln4 = 2ln2, Obtiene:
2ln4)(
2
0
−=
∫
dxxg
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
128 Ejercicios Realizados con la HP 40
b) la calculadora hay que especificar que
n
x
e es creciente para
[]
2,0∈x y se
obtiene la desigualdad:
nn
x
ee
2
1 ≤≤
mediante la multiplicación como g(x) es positivo [0, 2]Obtiene:
nn
x
exgexgxg
2
)()()( ≤≤
Integrando obtendremos:
IeuI
n
n
2
≤≤
c) convergencia de Un.
Buscar el límite de
n
e
2
cuando +∞→n :
)),
2
(EXP(LIMIT +∞=N
N
Obtiene:
1
n
2
tiende a 0 cuando n tiende + entonces
n
e
2
tiende a 1
0
=e cuando n
tiende a + .
cuando n tiende + ,
n
u está comprendido entre I y una cantidad que
tiende hacia I (véase desigualdad 2b)).
Por lo tanto
n
u es convergente y su límite vale I.
Hemos demostrado que:
2ln4−== I
L
5.4 Conclusión
Vemos que un buen manejo de la calculadora nos permite resolver muchas
cuetiones.
Aunque cuando se trata de aritmética hay que realizar más razonamientos : la
calculadora sirve para hacer las comprobaciones.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programación 129
6 Programación
6.1 Implementación
6.1.1 Como Editar y Grabar
Pulse las teclas SHIFT 1 (PROGRAM) para tener acceso al catálogo de los
programas.
En la pantalla aparecerá una lista con los programas disponibles y el menú
principal ( EDIT NEW SEND RECV RUN).
Para escribir un nuevo programa pulse F2(NEW).
Le pedirá el nombre del programa: CUIDADO!! Ud. no está en modo Alpha,
para pasar a ese modo pulseF4 (A…Z).
Escriba el nombre y pulse F6 (OK)
Ya está Ud. en el programa y su trabajo se grabará automáticamente cuando
salga del editor de ecuaciones pulsando
HOME
o SHIFT 1 (PROGRAM)
6.1.2 Como corregir un Programa
Si la sintaxis no es correcta, en la calculadora aparecerá:
Invalid Syntax Edit program? Conteste F6 (YES)
El cursor se coloca automáticamente en el lugar donde el compilador ha
detectado el error. Solo tiene que corregirlo!!!
6.1.3 Como Ejecutar un Programa
Para ejecutar un programa, abra la lista de programación pulsando las
teclasSHIFT1(PROGRAM).
Aparecerá en la pantalla la lista de los programas disponibles y el menú EDIT
NEW SEND RECV RUN.
Seleccione el programa a ejecutar y pulse F6 (RUN).
6.1.4 Como Modificar un Programa
Para modificar un programa (sin guardar el antiguo) abra el catálogo de
programas pulsando SHIFT 1 (PROGRAM) aparecerá la lista de los programas
disponibles y el menú EDIT NEW SEND RECV RUN.
Seleccione el programa que quiere modificar y pulse F1(EDIT)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
130 Programación
Si Ud. quiere conservar el nuevo y el antiguo programa debe:
abrir el catálogo de programas (SHIFT 1(PROGRAM))
Pulsar F2 (NEW) introducir el nombre del programa y pulsar F6 (OK)
El editor se abre, pulse VARS y a continuación la letra para seleccionar
Program.
Con la ayuda de las flechas seleccione el programa que quiere modificar y
pulse F4 (VALUE) (para seleccionar VALUE del menú) y F6 (OK).
De esta manera copiará el texto del programa en el editor.
6.2 Comentarios
Debe acostumbrarse a documentar sus programas.
En los cálculos algorítmicos un comentario empieza por // y acaba con un
punto y aparte.
Para la HP 40Gun comentario empieza por @ y acaba por un punto y aparte o
se rodea de dos @.
CUIDADO!!!
No olvide poner un espacio después de @.
El carácter @ se obtiene pulsando shift VAR (CHARS).
Seleccione ese carácter pulsando ECHO 1 del menú principal.
6.3 Las Variables
6.3.1 Sus Nombres
Son los lugares donde se almacenan los valores, números, expresiones, objetos.
Con la HP 40G, en programación sólo se pueden utilizar las 26 letras del
abecedario para almacenar números reales.
6.3.2 Nociones Sobre Variables Locales
En la calculadora HP 40G no existen variables locales. Sólo se pueden utilizar
variables globales.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programación 131
6.3.3 Nociones de Parametros
Cuando se escribe un programa en la HP 40G no se le pueden pasar parámetros
Por consiguiente no se podrán escribir funciones que contengan parámetros,
con el lenguaje de programación de la HP 40G.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Entradas 133
7 Entradas
7.1.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Para que el usuario pueda introducir un valor en la variable A durante la
ejecución de un programa, deberá escribir, el cálculo algoritmico:
saisir A
y para introducir los valores en A y B escribirá:
saisir A,B
7.1.2 Traduccion HP 40G
INPUT A:" TITRE"; "A";;0:
Si el hecho de tener que escribir todos estos puntos y comas en el INPUT le
resulta engorroso, se puede utilizar PROMPT
PROMPT A: Abre una ventana que le pedirá que introduzca el valor de A.
Los programas escritos a continuación, antes de la existencia de PROMPT,
utilizan el sub-programa IN que le permite introducir dos valores en A y B.
7.2 las Salidas
7.2.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
En el cálculo algorítmico se escribe:
Afficher "A=", A
7.2.2 Traduccion en la HP 40G
DISP 3 ; "A=" A : 3 representa el número de la línea donde A será visualizada
o
MSGBOX "A=" A :
7.3 Secuencia de Instrucciones o Acción
Una acción es una secuencia con una o varias instrucciones.
7.3.1 traduccion en los Calculos Algoritmicos
Cuando se utiliza el lenguaje algorítmico se usa el espacio en blanco o el punto
y aparte para terminar una instrucción.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
134 Entradas
7.3.2 Traduccion en la HP 40G
:indica el final de una instrucción
7.4 La Instrucción de Asignación
La asignación se usa para almacenar un valor o una expresión o una variable.
7.4.1 traduccion en los calculos algoritmicos.
Escribiremos por ejemplo:
2 * A – > B para almacenar 2 * A en B
7.4.2 Traduccion en la HP 40G
La flecha se obtiene con la letra STO
>
del menú principal.
Escribiremos por ejemplo:
2 * A STO
>
B
7.5 Las Instrucciones Condicionales
7.5.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Si condition entonces
action
fsi
si condition entonces
action1 si no
action2
fsi
Ejemplo:
Si A = 10 ó A<B entonces
B – A->B si no
A – B->A
Fsi
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Entradas 135
7.5.2 Traduccion en la HP 40G
IF condition THEN
action:
END:
IF condition THEN
action1 : ELSE
action1 :
END :
CUIDADO CON == para traducir la condicional de igualdad.
Ejemplo:
IF A== 10 OR A<B THEN
B-A STO
>
B: ELSE
A-B STO
>
A:
END:
7.6 Las instrucciones “Para”
7.6.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Para I d e A a B hacer action fpara
Para I d e A a B (paso p) ejcutar action fpara
7.6.2 Traduccion en la HP 40G
FOR I = A TO B STEP 1 ; action : END :
FOR I = A TO B STEP P ; action : END :
7.7 La Instrucción “Mientras”
7.7.1 Traduccion en los calculos algoritmicos
Mientras condition ejecutar action fmientras
7.7.2 Traduccion en la HP 40G
WHILE condition REPEAT action : END:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
136 Entradas
7.8 Las Expresiones Booleanas
Una condición es una función que tiene como valor un booleano, el valor es
verdadero o falso.
7.8.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Expresar una condición simple se utilizan los operadores:
= >
7.8.2 Traduccion en la HP 40G
CUIDADO, para la calculadora HP 40G la igualdad se escribe = =
7.9 Operadores Logicos
7.9.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Para traducir condicionales complejas, se usan los operadores lógicos:
ó y no
7.9.2 Traduccion en la HP 40G
ó y no se traducen en la HP 40G por OR AND NOT
7.10 Las Listas
7.10.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
En cálculos algorítmicos se usan las llaves { } para delimitar una lista.
Por ejemplo{ } representa la lista vacía y {1,2,3 } es una lista de 3 elementos.
El signo + se usa para unir dos listas, o una lista y un elemento, o un elemento
y una lista:
{1, 2, 3} -> TAB
TAB + 4 -> TAB (ahora TAB vale {1, 2, 3, 4}
TAB [2 ] es el segundo elemento deTAB, en este caso 2.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Entradas 137
7.10.2 Traduccion en la HP 40G
Las variables de listas tienen como nombre: L0, L1, L2…L9
Se usan las llaves { } para delimitar una lista.
Por ejemplo{1,2,3 } es una lista de 3 elementos.
Pero { } no es una lista vacía, debe usar el comando CLEAR L1 para iniciar la
lista L1 como vacía.
Comandos útiles:
L1(I) designa el elemento de posición I.
CONCAT (L1, {5}) nos indica una lista que contiene el elemento 5 además de
los elementos de la lista L1.
También puede utilizar:
AUGMENT (L1,5) indica una lista que contiene el elemento 5 además de los
elementos de la lista L1
SUB L2:L1;2;4 es un comando que meten en L2 los elementos de L1 con los
índices de 2 hasta 4.
CUIDADO: La diferencia entre funciones y comandos:
Las funciones devuelven un valor, tienen argumentos que están entre paréntesis
y se separan por comas, mientras que los comandos no devuelven valores, sus
argumentos se escriben después del nombre del comando y se separan por
punto y coma.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
138 Entradas
7.11 Un Ejemplo: la Criba de Eratóstenes
7.11.1 Descripcion
Buscar los números primos inferiores o iguales a N:
2 Escribimos los números de uno a N en una lista.
5. Tachamos 1 y ponemos 2 en la casilla P.
6. Si P.P N hay que manejar los elementos de P a N
7. Tachamos todos los múltiplo de P a partir de P.P.
8. Aumentamos P de 1
9. Si P.P es inferior o igual a N, quedan los elementos no eliminados de P a
N para trabajar con ellos.
10. Llamamos P al elemento más pequeño no eliminado de la lista.
11. Se repiten los puntos 3 4 5 mientras que P.P sigue siendo inferior o igual a
N.
7.11.2 Escritura del Calculo Algoritmico
función crible (N)
local TAB PREM I P
/ / GAB y PREM son dos listas:
{ } - TAB
{ } - PREM
para I de 2 a N ejecutar
TAB+1 - TAB
fpour
0 + TAB -> TAB
2- P
/ / se hacen los puntos 1 y 2
/ / eliminar 1ha sido ejecutado se sustituye por 0
/ / TAB es la lista 0 2 3 4 …N
mientras P*P N ejecutar
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Entradas 139
para I de P en E(N/P) ejecutar
//E(N/P) representa la parte entera de N/P
0 - TAB I*P
/fpara/
/ / se han eliminado todos los múltiplos de P a partir de P*P
P+1- P
/ / se busca el número más pequeño = N no eliminado
/ / entre P y N
mientras que (P*P N) y (TAB P = 0) ejecuta
P + 1 - P
mientras que
mientras que
// se escribe el resultado en una lista PREM
para I de 2 a N ejecutar
si TAB I 0 so
PREM + I - PREM
/fsi/
/fpara/
resultado: PREM
7.11.3 Traduccion en la HP 40G
Programa CRIBLE:
El usuario debe introducir el valor de N.
Al final la lista L2 contendrá los números primos inferiores o iguales a N.
INPUT N CRIBLE N= 10:
ERASE:
MAKELIST(I,I,1,N,1) - L1:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
140 Entradas
0 - L1(1):
2 - P:
WHILE P*P N REPEAT
FOR I = P TO INT(N/P) STEP 1
0 - L1(I*P):
END:
DISP 3 L1
P+1- P:
WHILE P*P N AND L1(P) == 0 REPEAT
P+1- P:
END:
END:
2 - L2:
© 2 es primo
FOR I=3 TO N STEP 1;
IF L1(I) 0 THEN
CONCAT(L2, I ) - L2:
END:
END:
DISP 3 PREPPM L2:
FREEZE:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 141
8 Programas de Aritmetica
8.1 EL MCD y el Algoritmo de Euclides
Calcular el MCD de dos números enteros positivos A y B.
El algoritmo de Euclides se basa en la definición recursiva de MCD.
MCD(A,0) = A
MCD(A,B) = MCD(B,A mod B) siB 0
donde A mod B representa el resto de la división euclidiana de A entre B.
Descripción del algoritmo:
Se efectúan las divisiones euclidianas sucesivas:
A = B Q1+ R1 0 …R1 B
B = R1 Q2 + R2 0 R2 R1
R1= R2 Q3+ 3 0 R3 R2
Después de un número determinado de pasos existe un entero n tal que: R
n
= 0.
Entonces obtenemos:
MCDA,B) = MCD(B, R1) = …
MCD(R
n – 1
, R
n
) = MCD(R
n – 1
,0) = R
n – 1
8.1.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Versión iterativa
Si B 0 se calcula R = A mod B, B con el valor de A (introduciendo B en A) y
R con el valor de B (introduciendo R en B), así se vuelve a empezar hasta que
B = 0, el MCD es entonces A.
Función MCD(A,B)
Local R
mientras que B 0 ejecutar
A mod B - R
B - A
R - B
/fmientras que/
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
142 Programas de Aritmetica
resultado A
/ffonction/
Versión recursiva
Se escribe la definición recursiva vista anteriormente
Función MCD(A,B)
Si B 0 entonces
resultado MCD(B,A mod B)
si no
resultado A
/fsi/
/ffunción/
8.1.2 Traduccion en la HP 40G
Versión iterativa para dos números enteros.
Primero escribimos el sub-programa IN para introducir dos números A y B.
INPUT A "A" 1
INPUT B "B" 1
ERASE:
Se escribe el programa MCD:
RUN IN:
DISP 3 "MCD" A,B :
WHILE B 0 REPEAT
A MOD B- R:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 143
B - A:
R - B:
END:
DISP 4 "NSD " A:
FREEZE:
Versión recursiva para dos números enteros A y B.
Con la HP 40G no podemos escribir el programa MCD:
DISP 3 "MCD " A,B :
FREEZE:
IF B 0 THEN
A MOD B - R:
B - A:
R - B:
NSDR:
ELSE
DISP 3 "MCD "A:
FREEZE:
END:
Primero se almacenan los valores en A y B.
El programa PGCDR visualiza el MCD que se está calculando.
La llamada recursiva PGCDR nos devuelve al programa que hay que ejecutar
pulsando RUN el menú principal.
El programa PGCDR visualiza los MCD intermediarios calculados.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
144 Programas de Aritmetica
También se puede sustituir PGCDR en el programa anterior por RUN PGCDR,
para no tener que pulsar RUN del menú, y suprimir las visualizaciones
intermedias, para usar ese programa en un programa que ejecute entradas y
salidas:
El programa recursivo PGCDR se convierte en programa recursivo PR:
IF B 7+(1
A MOD B -> R:
B -> A:
R -> B:
RUN PR:
END:
Se inserta el programa PR en un programa que efectúa entrada y salidas.
PROMPT A:
PROMPT B:
RUN PR:
ERASE:
MSGBOX A:
Versión iterativa para dos números complejos
Si utiliza la función de cálculo simbólico IREMAINDER en lugar de MOD de
los programas precedentes, MCD (ó PR) puede entonces tener como
parámetros números enteros de Gauss, siempre y cuando se sustituya los
nombres de las variables A,B,R, por Z1,Z2,Z3 y cambie el test de parada.
Tenemos la versión iterativa:
PROMPT Z1:
PROMPT Z2:
DISP 3;"PGCD "{Z1,Z2}:
WHILE ABS(Z2)
0 REPEAT
XNUM(IREMAINDER(XQ(Z1),XQ(Z2)) ->Z3:
Z2 ->Z1:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 145
Z3 ->Z2:
END:
DISP 4;"PGCD "Z1:
FREEZE:
- Versión iterativa para dos polinomios.
Las variables E1, E2,…permiten almacenar expresiones, que es lo que
necesitamos para introducir polinomios!! Si se usa la expresión de cálculo
simbólico REMAINDER en lugar de MOD en los programas anteriores MCD
(o PR) puede entonces tener como parámetros polinomios, siempre y cuando
sustituye los nombres de as variables A, B, R por E1, E2, E3 cambie el test de
parada.
PROMPT E1:
PROMPT E2:
WHILE DEGREE(E2) 5(3($7
REMAINDER(E1,E2) ->E3:
E2 ->E1:
E3 ->E2:
END:
DISP 4;"PGCD "E1:
FREEZE:
Teclee por ejemplo:
E1 = S12 – 1 y E2 = S12 – 2 * S1 + 1, obtendrá el MCD igual a 2*S1 – 2.
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
146 Programas de Aritmetica
8.2 Identidad de Bézout
En este apartado la función de Bézout (A,B) devuelve la lista:
U,V,NSD(A,B) donde U y V verifican:
A U + B V = MCD(A,B).
8.2.1 Version Iterativa SIN las Listas
El algoritmo de Euclides permite encontrar una pareja U y V que verifican:
A U + B V = MCD(A,B)
Si damos A0 y B0 los valores de A y B inciales, obtenemos:
A = A
0
U + B
0
V con U = 1 y V = 0
B = A
0
W + B
0
X con W = 0 y…X = 1
Si va desarrollando A, B, U, V, W, X so, de manera que las dos relaciones
antes escritas, se verifiquen siempre.
Si:
A = B Q + R 0 R B (R = A mod B y Q = E(A/B))
se escribe:
R = A – B Q = A
0
(U – W xQ) + B
0
(V – X Q) =
A
0
S + B
0
T mit S = U – W Q und T = V – X Q
Hay que volver a empezar con:
B sustituyendo a A (B- A W- U X- V)
y R sustituyendo B (R - B S - W T - X)
de donde se obtiene el algoritmo:
función Bezout (A,B)
local U,V,W, X, S, T, Q, R
1- U 0 - V 0 - W 1 - X
mientras que B 0 ejecuta
A mod B - R
E(A/B) - Q
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 147
/ /R=A-B*Q
U-W*Q - S
V-X*Q - T
B- A W- U…X- V
R- B…S- W…T- X
/fmientras /
resultado U, V, A
/ffunción/
8.2.2 Version Iterativa con las listas
Se puede simplificar la escritura del algoritmo anterior usando las menos
variables: con las listas LA LB LR para memorizar los trios. U, V, A W, X,
B y S, T, R . Esto es muy cómodo porque las calculadoras saben añadir
listas de una misma longitud (añadiendo los elementos con el mismo índice) y
también saben multiplicar una lista por un número (multiplicando cada uno de
los elementos de la lista por ese número).
Función Bezout (A,B).
local LA LB LR
1, 0, A - LA
0, 1, B - LB
mientras que LB 3 0 ejecuta
LA-LB*E(LA 3 /LB 3 )- LR
LB- LA
LR- LB
/fmientras que/
resultado LA
/ffunción/
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
148 Programas de Aritmetica
8.2.3 Version recursiva con Listas
Se puede definir de una manera recursiva la función de Bézout por:
Bezout(A,0) = {1, 0, A}
Si B KD\TXHGHILQLU%H]RXW$%HQIXQFLyQGH%H]RXW%5
cuando
R = A – B Q y Q = E(A/B).
Tenemos:
{}
)(,,),( brmcdXWLTRBBezout ==
con ),( RBmcdRXBW =×××
por lo tanto:
),()( RBmcdQBAXBW =×−×+×
o también
),()( BAmcdBQXWAX =××−+×
De dónde sacamos B \VL%H]RXW%5 /7WHQHPRV
Bezout(A, B) = {LT[2], LT[1] – LT[2] Q, LT[3]}.
funcion Bezout (A,B)
local LT Q R
Si B HMHFXWD
E(A/B) ->Q
A-B*Q->R
Bezout(B,R)->LT
resultado {LT[2], LT[1]-LT[2]*Q, LT[3]}
si no resultado {1, 0, A}
fsi
funcion
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 149
8.2.4 Version Recursiva SIN las Listas
Si se usan variables globales para A B D U VT podemos considerar la función
Bezout como si se calculara a partir de A B, valores que se introducen en U V
D (AU + BV = D) con la ayuda de una variable local Q.
Se escribe:
Programa Bezour
local Q
si B HMHFXWDU
E(A/B) ->Q
A-B*Q->T
B->A
T->B
Bezour
U-V*Q->T
V->U
T->V
si no
1->U
0->V
A->D
fsi
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
150 Programas de Aritmetica
8.2.5 Traduccion en la HP 40G
Versión iterativa con las listas
Aquí también utilizamos el programa IN que nos permite introducir dos
números enteros A y B.
INPUT A "A" 1:
INPUT B "B" 1:
ERASE:
y escribimos el Programa BEZOUT:
RUN IN:
DISP 3 "BEZOUT" A,B :
1, 0, A - L1:
0, 1, B - L2 :
WHILE L2(3) 0 REPEAT
L1-L2*FLOOR(L1(3)/L2(3)) - L3:
L2- L1:
L3- L2:
END:
DISP 4 "U VNSD "L1:
FREEZE:
Versión recursiva sin las listas
Se escribe el programa BEZOUR, con la ayuda de los comandos (gracias
Bernard!!!)
PUSH (PUSH(A) para introducir el contenido de A en la pila).
y POP (para recuperar los valores de la pila).
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 151
PROGRAM BEZOUR
IF B
0 THEN
PUSH (FLOOR(A/B)):
B->A:
T->B:
RUN BESOUR:
U-V*POP->T:
V->U:
T->V:
ELSE
1->U:
0->V:
A->D:
END:
PUSH (FLOOR(A/B)) introduce los diferentes valores de FLOOR(A/B) en una
pila y POP los recupera.
T es una variable auxiliar.
BEZOUR toma como entrada los valores de las variables globales Ay B y
rellena las variables globales U y V de manera que:
A · U + B · V = PGCD(A, B).
A continuación se escribe el programa final BEZOURT,
que permite la entrada de A y B y la salida de {U, V, D}.
PROGRAM BEZOUR
PROMPT A:
PROMPT B:
RUN BEZOUR:
ERASE:
MSGBOX {U,V,D}:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
152 Programas de Aritmetica
NOTA
:
Si Ud. usa la función del cálculo simbólico IREMAINDER en lugar de MOD y
IQUOT(A,B) en lugar de FLOOR(A/B) en los programas precedentes,
BEZOUT o BEZOUR puede tener entonces como parámetros enteros de Gauss
siempre y cuando sustituya los nombre de las variables A,B,R… por
Z1,Z2,Z3…
NOTA
:
Si Ud. usa la función del cálculo simbólico REMAINDER en lugar de MOD
en los programas anteriores BEZOUT (o BEZOUR)puede tener como
parámetros polinomios, siempre y cuando sustituya los nombres de las
variables A,B,R… por E1,E2,E3…y cambie el test de parada.
8.3 Descomposicion en Factores Primos
8.3.1 Los Calculos Algoritmicos y sus
Traducciones
Primer algoritmo
Sea N un número entero D de 2 a N, la divisibilidad de N por D.
Si D divide N, se busca entonces los divisores de N/D etc…N/D desempeña el
papel de N cuando N = 1.
Se introducen los divisores que se han encontrado en la lista FACT.
Funcion facprem(N)
local D FACT
2- D
- FACT
mientras que N 1 ejecuta
si N mod D = 0 entonces
FACT + D - FACT
N/D - N
sino
D+1 - D
/fsi/
/fmientras que/
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 153
resultado FACT
/ffuncion/
Primera mejora
sólo se prueban los divisores D entre 2 y E( N).
Si N = D1* D2 obtendremos :
D1 E( N) ó D2 E( N), de lo contrario obtendríamos:
D1 * D2 (E( N) + 1)
2
> N.
funcion facprem(N)
local D FACT
2-> D
{} -> FACT
mientras que D*D N ejecuta
si N mod D = 0 entonces
FACT + D -> FACT
N/D -> N
sino D+1-> D
/fsi/
/fmientras que/
FACT + N -> FACT
resultado FACT
/ffonction/
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
154 Programas de Aritmetica
- segunda mejora
Comprobar si 2 divide a N probamos los divisores impares de D entre 3 y
E( N).
En la lista FACT cada divisor va seguido de su exponente:
decomp(12) = 2,2,3,1 .
fonction facprem(N)
local KD FACT
->FACT
0 -> K
mientras N mod 2 = 0 ejecuta
K+1 -> K
N/2 -> N
/f mientras /
si K 0 so
FACT + 2 K -> FACT
/fsi/
3-> D
mientras D*D N ejecuta
0 -> K
mientras N mod D = 0 ejecuta
K+1 -> K
N/D -> N
mientras
si K 0 so
FACT + D K -> FACT
/fsi/
D+2 -> D
/f mientras /
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 155
si N 1 so
FACT + N 1 -> FACT
/fmientras/
resultado FACT
/ffunción/
8.3.2 Traduccion en la HP 40G
Traducimos el último algoritmo.
La HP40G no conoce la lista , por lo tanto para inicializar L1 con la lista
vacía escribimos:
CLEAR L1.
El programa FACTPREM :
INPUT N "N" 1:
ERASE:
0 -> K:
CLEAR L1:
WHILE N MOD 2 == 0 REPEAT
1+K -> K:
N/2 ->N:
END:
IF K 0 THEN
2, K -> L1:
END:
3->D:
WHILE D*D N REPEAT
0 -> K:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
156 Programas de Aritmetica
WHILE N MOD D == REPEAT
K+1 -> K:
N/D -> N:
END:
IF K 0 THEN
CONCAT (L1, D, K - L1:
END:
2+D - D:
END:
IF K 1 THEN
CONCAT (L1, N,1 - L1:
END:
DISP 3 "FACT " L1:
FREEZE:
8.4 Calculo de A
P
MOD N
8.4.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Primer algoritmo.
Se usan dos variables locales PUIS e I
Se hace un programa interactivo de manera que cada etapa PUIS representa A
I
(mod N).
funcion puismod (A, P, N)
local PUIS, I
1 - PUIS
para I de 1 a P ejecutamos
A*PUIS mod N - PUIS
/fpara/
resultado PUIS
/ffuncion/
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 157
Segundo algoritmo
Se usa una única variable local PUI, variamos P de manera que para cada etapa
de la iteración tengamos:
La solución: = PUI * AP (mod N)
funcion puismod (A,P,N)
local PUI
1 - PUI
mientras P 0 ejecutar
A*PUI mod N - PUI
P-1 - P
/fmientras/
resultado PUI
/funcion/
Tercer algoritmo
Se puede fácilmente modificar este programa teniendo en cuenta que:
A
2
*P = (A*A)
p
.
Cuando P es par tenemos la siguiente relación:
PUI * A
P
= PUI * A *A
P/2
(mod N).
Cuando P es impar tenemos la siguiente relación:
PUI * A
P
= PUI * A *A
P-1
(mod N).
Se obtiene entonces un algoritmo rápido de A
P
(mod N).
funcion puismod (A, P, N)
local PUI
mientras P 0 ejecutar
si P mod 2=0 entonces
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
158 Programas de Aritmetica
P/2- P
A*A mod N- A
si no
A*PUI mod N - PUI
P-1- P
/fsi/
/fmientras/
resultado PUI
/ffuncion/
Si P es impar, P-1 es par.
por lo tanto podemos escribir:
funcion puismod (A, P, N)
local PUI
1- PUI
mientras P 0 ejecuta
si P mod 2=1 entonces
A*PUI mod N- PUI
P-1- P
/fsi/
P/2- P
A*A mod N- A
/fmientras/
resultado PUI
/ffonction/
8.4.2 Traduccion en la HP 40G
El cálculo A
p
mod N se utiliza en el programa del método probabilístico de Mr.
Rabin (véase.7.6).
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 159
8.5 La función “esprimo”
8.5.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Primer algoritmo
Vamos a escribir una función booleana de parámetro N, que sea igual a
VERDADERO cuando N sea primo y sino será igual a FALSO.
Hay que buscar si n posee un divisor 1 y E( N) (parte entera de la raíz de
N).
En el caso N=1 se trata aparte!
Se usa la variable booleana PREM que parte de VERDADERO y pasa a
FALSO cuando encontramos un divisor de N…
Funcion esprmo (N)
local PREM, I, J
E( N) - J
si N = 1 entonces
Falso - PREM
Si no
Verdadero- PREM
/fsi/
2- I
mientras que PREM y I J ejecutar
si N mod I=0 entonces
Falso- PREM
si no
I+1- I
/fsi/
/fmientras/
resultado PREM
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
160 Programas de Aritmetica
/ffuncion/
Primera mejora
Se puede comprobar si N es par o sino ver si N tiene un divisor impar.
Funcion esprimo(N)
Local PREM, I, J
E( N) - J
Si (N = 1) o (N mod 2 = 0) y (N 2) entonces
Falso- PREM
Si no
verdadero- PREM
/fsi/
3- I
si N mod I = 0 entonces
Falso - PREM
sino
I+2- I
/fsi/
/fmientras/
resultado PREM
/ffuncion/
Segunda mejora
Ver si N es divisible por 2 ó 3 o buscar si N tiene un divisor de la forma
6 k –1 ó 6 K + 1.
funcion estprimo(N)
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 161
local PREM, I, J
E( N) - J
si (N = 1) o (N mod 2 = 0) o (N mod 3 = 0) entonces
Falso- PREM
si no
Verdadero- PREM
/fsi/
si N=2 o N=3 entonces
Verdadero- PREM
/fsi/
5- I
mientras que PREM y I J ejecutan
si (N mod I = 0) o (N mod I + 2 = 0) entonces
Falso- PREM
sino
I + 6 - I
/fsi/
/fmientras/
resultado PREM
/ffuncion/
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
162 Programas de Aritmetica
8.5.2 Traduccion en la HP 40G
INPUT N "N" 1:
IF N MOD 2 == 0 OR N MOD 3 == 0 OR N == 1 THEN
0 - P:
ELSE
1- P:
END:
IF N= =2 OR N= =3 THEN
1- P:
END:
5- I:
FLOOR (vN)- J:
WHILE I = J AND P REPEAT
IF N MODI= =0 OR N MOD I+2= =0 THEN
0 - P:
ELSE
I+6- I:
END:
END:
CLEAR:
DISP 5;P:
FREEZE:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 163
8.6 Metodo probabilistico de Mr.Rabin
Si N es primo todos los números K, estrictamente inferiores a N, son primos
deN, por lo tanto según el Teorema de Fermat, tenemos:
K
N-1
= 1 (mod N)
Si N no es primo, los números enteros K que verifican:
K
N-1
= 1 (mod N)
Son poco numerosos.
Con más precisión se puede demostrar que si N > 4 la probabilidad de obtener
es número k es inferior a 0,25.
Un número N siendo K
N-1
= 1 (mod N) para 20 pruebas de es un número
pseudoprimo. El método probabilístico de consiste en coger al azar un número
K (1 < K < N) y calcular:
K
N-1
(mod N)
Si K
N-1
= 1 (mod N) se coge otro número y si K
N-1
PRG1VHJXURTXH1
no es primo.
Si se obtiene K
N-1
= 1 (mod N) para 20 valores de K podemos determinar que
K es primo
con una probabilidad de error inferior a 0.25
20
de orden…10
–12
.
Este método se utiliza únicamente para saber si números muy grandes son
pseudo-primos.
8.6.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos
Suponemos que:
Hasard(N) da un número entero al azar entre 0 y N – 1.
el cálculo de:
K
N-1
mod N
Se hace con el algoritmo de la potencia rápida (véase 13).
Teclee:
Puismod (K, P, N) la función que calcula K
P
mod N
Funcion esprim(N)
local K, I, P
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
164 Programas de Aritmetica
1- I
1- P
mientras que P = 1 y I < 20 ejecuta
azar (N-2)+2- K
y mod (K, N-1, N)- P
I+1- I
/fmientras/
si P =1 entonces
resultado verdadero
sino
resultado falso
/fsi/
/ffuncion/
8.6.2 Traduccion en la HP 40G
PROMPT N:
RANDSEED TIME:
1- I:
1- P:
WHILE I < 20 AND P= =1 REPEAT
FLOOR (RANDPM * (N-2))+2- K:
N-1- M:
© calcula Kpotencia M mod N en P.
1- P:
WHILE 0 < M REPEAT
IF M MOD 2 = = 0 THEN
M / 2 -> M:
(K * K) MOD N ->K:
ELSE
K*P MOD N -> P:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
Programas de Aritmetica 165
M – 1 -> M:
END:
END:
@ P contiene Kpotencia M mod N y M=N-1.
I+1 ->I:
END:
ERASE:
IF P = =1 THEN
DISP 3; "PREMIER " N:
ELSE
DISP 3; "NON PREMIER " N:
END:
FREEZE:
NOTA
:
También se puede utilizar la función de cálculo simbólico POWMOD entonces
escribiremos:
MODSTO(N):
POWMOD(K,N-1) STO
P:
en lugar de la instrucciones comprendidas entre @ obtendremos:
PROMPT N:
RANDSEED TIME:
1->I:
1->P:
WHILE I < 20 AND P= =1 REPEAT
FLOOR( RANDOM * (N-2))+2->K:
MODSTO(N):
POWMOD(K,N-1) STO$\triangleright$ P:
I+1 ->I:
END:
Calculo Simbólico y Matemático con la HP 40G
166 Programas de Aritmetica
ERASE:
IF P= =1 THEN
DISP 3; "PREMIER " N:
ELSE
DISP 3;"NON PREMIER " N:
END:
FREEZE
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
8
-
9
-
10
-
11
-
12
-
13
-
14
-
15
-
16
-
17
-
18
-
19
-
20
-
21
-
22
-
23
-
24
-
25
-
26
-
27
-
28
-
29
-
30
-
31
-
32
-
33
-
34
-
35
-
36
-
37
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38
-
39
-
40
-
41
-
42
-
43
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44
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45
-
46
-
47
-
48
-
49
-
50
-
51
-
52
-
53
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54
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55
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56
-
57
-
58
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59
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60
-
61
-
62
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63
-
64
-
65
-
66
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67
-
68
-
69
-
70
-
71
-
72
-
73
-
74
-
75
-
76
-
77
-
78
-
79
-
80
-
81
-
82
-
83
-
84
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85
-
86
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87
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88
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89
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90
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91
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92
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93
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94
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95
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96
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97
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98
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99
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100
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101
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102
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103
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107
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109
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111
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113
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115
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129
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133
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134
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135
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139
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140
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141
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142
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143
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144
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145
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146
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147
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148
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149
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150
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151
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152
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153
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154
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155
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156
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157
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158
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165
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166
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